圆锥曲线光学性质的证明及应用初探.pdf

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1、圆锥曲线光学性质的证明及应用初探———源于课本一份《阅读材料》的探究反思内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学：王珏指导教师：张红学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。课后我经过反思与整理，写成此文。一、圆锥曲线的光学性质1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置

2、一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，

3、控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一1般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．BDAF2•••••F2OF1F1图1.1图1.2图1.3要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。二、问题转化及

4、证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P，Q重合为一点M,此时直线l称为曲线c在点M处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：2.2圆锥曲线光学性质的证明22xy预备定理1.若点Pxy(,)00是椭圆22+=1上任一点，则椭圆过该点的切abxxyy00线方程为：+=1。22ab222yxx2=−122证明：由22⇒yb=−(12)……①baa1°当xa≠±时，过点P的切线斜率k一定存在，且ky='

5、x=x02

6、2b∴对①式求导：2'yy=−2x0a22−bx−bx0ky=='

7、0∴切线方程为yy−=−()xx−∴xx=0200ay2…………②ay0022xy∵点Px(,)00y在椭圆22+=1上，abxy22xxyy00故00+=1代入②得+=1…………③2222abab而当xa=±时，y0=0切线方程为xa=±，也满足③式xxyy00故22+=1是椭圆过点Pxy(,)00的切线方程.ab22xy预备定理2.若点P(,)xy00是双曲线22−=1上任一点，则双曲线过该abxxyy00−=点的切线方程为：122ab222yx22x证明：由22=−1⇒yb=−(12)……①b

8、aa1°当xa≠±时，过点P的切线斜率k一定存在，且ky='

9、x=x022b2bx0∴对①式求导：2'yy=2x0∴ky=='

10、xx=02aay02bx0∴切线方程为yy−=00−2()xx−…………②ay022xy∵点Pxy(,)00在双曲线22−=1上，ab322xxyyxy0000故22−=1代入②得22−=1…………③abab而当xa=±时，y0=0切线方程为xa=±，也满足③式xxyy00故22−=1是双曲线过点Pxy(,)00的切线方程.ab预备定理3.若点2Pxy(,)00是抛物线yp=2x上任一点，则抛物线过该点的切线方程是yypxx00=()+2p

11、证明：由yp=2x，对x求导得：2'2yy=⇒=pky'

12、=xx=0y0p当y≠0时，切线方程为yy−=()xx−00y0即2yyy−=−pxpx0002而yp=⇒=+2(xyypxx)………………①0000而当yx==0,0时，切线方程为x=0也满足①式000故抛物线在该点的切线方程是yy00=pxx()+.定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分（图2.1）22xy已知：如图，椭圆C的方程为+=1，FF,分别是其左、右焦点，l是过2212ab椭圆上一点Pxy(,)的切线，l'为垂直于l且过点P的椭圆的法线，交x轴于D00设∠=FPDα