圆锥曲线的光学性质

《圆锥曲线的光学性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线光学性质的证明及应用初探一、圆锥曲线的光学性质1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于处，对处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。证明：由导数可得切线的斜率，而的斜率，的斜率∴到所成的角满足，在椭圆上，∴，同理，到所成的角满足，∴，而，∴1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射

2、光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋

3、转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．·图1.3F2··F1图1.2··AF1F2DO图1.1B第9页共9页圆锥曲线的光学性质要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。

4、二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线与曲线交于，两点，当直线连续变动时，，两点沿着曲线渐渐靠近，一直到，重合为一点,此时直线称为曲线在点处的切线，过与直线垂直的直线称为曲线在点处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化：2.2圆锥曲线光学性质的证明预备定理1.若点是椭圆上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：。证明：由……①，1°当时，过点的切线斜率一定存在，且，∴对①式求导：，∴，∴切线方程为……②，∵点在椭圆上，故，代入②得……③，而当时，切线方程为，也满足③式，

5、故是椭圆过点的切线方程.预备定理2.若点是双曲线上任一点，则双曲线过该点的切线方程为：证明：由……①，1°当时，过点的切线斜率一定存在，且，第9页共9页圆锥曲线的光学性质∴对①式求导：，∴，∴切线方程为……②，∵点在双曲线上，故代入②得……③，而当时，切线方程为，也满足③式，故是双曲线过点的切线方程.预备定理3.若点是抛物线上任一点，则抛物线过该点的切线方程是证明：由，对求导得：，当时，切线方程为，即，而………①，而当时，切线方程为也满足①式，故抛物线在该点的切线方程是.定理1.椭圆上一个点的两条焦半径的夹角

6、被椭圆在点处的法线平分（图2.1）已知：如图，椭圆的方程为，分别是其左、右焦点，是过椭圆上一点的切线，为垂直于且过点的椭圆的法线，交轴于，设，xyDP求证：.证法一：在上，，则过点的切线方程为：，是通过点且与切线垂直的法线，则，∴法线与轴交于，∴，∴，又由焦半径公式得：，∴，∴是的平分线，∴，∵，故可得第9页共9页圆锥曲线的光学性质证法二：由证法一得切线的斜率，而的斜率，的斜率，∴到所成的角满足：∵在椭圆上，∴，同理，到所成的角满足，∴而，∴证法三：如图，作点，使点与关于切线对称，连结，交椭圆于点下面只需证明

7、点与重合即可。一方面，点是切线与椭圆的唯一交点，则，是上的点到两焦点距离之和的最小值（这是因为上的其它点均在椭圆外）。另一方面，在直线上任取另一点，∵即也是直线上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而与重合，即而得证定理2双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）；已知：如图，双曲线的方程为，，分别是其左、右焦点，是过双曲线上的一点的切线，交轴于点，设，xy图2.2求证：证明：，两焦点为，，在双曲线上，则过点的切线，切线与轴交于。由双曲线的焦半径公式得：，双曲线的两焦点坐标为，，故

8、第9页共9页圆锥曲线的光学性质故，∴切线为之角分线。yx图2.3定理3抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分（图2.3）。已知：如图，抛物线的方程为为，直线是过抛物线上一点的切线，交轴于，，反射线与所成角记为，求证：证明：如图，抛物线的方程为，点在该抛物线上，则过点的切线为，切线与轴交于，焦点为，(同位角)，∵，∴，∴通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是