高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 三 平面与圆锥面的截线学案 新人教a版选修4-1

《高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 三 平面与圆锥面的截线学案 新人教a版选修4-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三　平面与圆锥面的截线1．了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线．2．感受平面截圆锥的形状，并从理论上证明．3．通过Dandelin双球探求双曲线的性质，理解这种证明问题的方法．1．定理2文字语言如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸)，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现三种情况：如果平面与一条母线平行，那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是________；如果平面不与母线平行，当平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为________；当平面与圆锥的两个部分都相交，这时的交线叫做________符号语言在空间中，取直线l为轴，直线l

2、′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为____；(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为______；(3)β＜α，平面π与圆锥的交线为______图形语言作用确定交线的形状①特别情况：，平面π与圆锥的交线为圆，如图所示．②圆锥曲线的统一性，椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到，因此，圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e，定义上

3、的统一，必然也蕴含着图形统一．【做一做1】在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切，若平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥面的截线是(　　)A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线2．圆锥曲线的结构特点(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之____为常数(长轴长2a)．(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之______为常数(2a)．(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离______．【做一做2】双曲线上任意一点到两个焦点的距离分别是d1和d2，则下列为常数的是(　　)A．d1－d2B．d1＋d2

4、C．

5、d1－d2

6、D．d2－d13．圆锥曲线的几何性质(1)焦点：Dandelin球与平面π的____．(2)准线：截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的____．(3)离心率：e＝.(4)圆锥曲线的几何性质项目椭圆双曲线抛物线焦点2个2个1个准线2条2条1条离心率e＝＜1e＝＞11焦距F1F2＝2cc2＝a2－b2F1F2＝2cc2＝a2＋b2—离心率e＝e＝—准线间距—曲线上的点到焦点距离PF1＋PF2＝2a

7、PF1－PF2

8、＝2a—【做一做3－1】设截面和圆锥的轴的夹角为β，圆锥的母线和轴所成角为α，当截面是椭圆时，其离心率等于(　　)A．B．C．D．【做一做3－2】双曲

9、线的焦距为4，实轴长为3，则离心率e＝__________.答案：1．抛物线　椭圆　双曲线　(1)椭圆　(2)抛物线　(3)双曲线【做一做1】B　由于平面π与双球的切点不重合，则平面π与圆锥母线不平行，且只与圆锥的一半相交，则截线是椭圆．2．(1)和　(2)差的绝对值　(3)相等【做一做2】C3．(1)切点　(2)交线【做一做3－1】B【做一做3－2】　设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则2c＝4，2a＝3，于是c＝2，a＝.故e＝＝.在定理2中，当β＜α时，探究截线形状剖析：如图，当β＜α时，平面π与圆锥面的两部分相交，在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，

10、与平面π的两个切点分别为F1，F2，与圆锥两部分截的圆分别为S1，S2.在截口上任取一点P，连接PF1，PF2.过P和圆锥的顶点O作母线，分别与两球切于Q1，Q2，则PF1=PQ1，PF2=PQ2，所以

11、PF1－PF2

12、=

13、PQ1－PQ2

14、=Q1Q2，所以Q1Q2是两圆S1，S2所在平行平面间的母线段的长，且为定值．所以由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线．题型一利用Dandelin双球研究圆锥曲线【例题1】如图，讨论其中双曲线的离心率．其中π′是Dandelin球与圆锥交线S2所在平面，与π的交线为m.反思：讨论圆锥曲线的几何性质时，要注意结合图形进行．题型二圆锥曲线几何性质应用【

15、例题2】已知双曲线两个顶点间的距离为2a，焦距为2c，求两条准线间的距离．反思：已知圆锥曲线的结构特点，解决有关计算等问题时，通常利用圆锥曲线结构特点中的数量等式关系，如e＝等，列出方程来解决．如本题中，由OH1＝OA1－A1H1得到了a－＝.答案：【例题1】解：P是双曲线上任意一点，连接PF2，过P作PA⊥m于A，连接AF2，过P作PB⊥平面π′于B，连接AB，过P作母线交S2于Q2.∵PB平行于圆锥的轴，∴∠BPA＝β，∠BPQ2＝α.在Rt△BPA中