高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨二平面与圆柱面的截线学案新人教a版选修4

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1、二　平面与圆柱面的截线1．通过圆柱形水杯中水面的倾斜，感受平面截圆柱的形式，并能证明定理1.2．通过Dandelin双球探求椭圆的性质，体会这种证明问题的方法．1．定理1文字语言圆柱形物体的斜截口是____符号语言平面α与圆柱OO′的轴____，则截口是椭圆图形语言作用判断截口形状是椭圆【做一做1】圆柱形物体的截口是(　　)A．双曲线B．圆C．抛物线D．椭圆或圆2．椭圆(1)定义：平面上到两个定点的距离之____等于____的点的轨迹叫做椭圆．(2)组成元素：如图所示，F1，F2是椭圆的焦点，B1

2、B2是F1F2的中垂线．我们把_________叫做椭圆的长轴，_________叫做椭圆的短轴，_________叫做椭圆的焦距．如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c=_________.(3)Dandelin双球探究椭圆性质：如图所示，设球O1，O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1，l2，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的交角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线l1，l2也是确定的．①当点P在椭圆的任意位置时，过P作l1的垂线，

3、垂足为Q，过P作平面α的垂线，垂足为K1，连接K1Q，得Rt△PK1Q，则∠QPK1＝φ.从而有＝＝＝______＝定值．②椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值______．我们把直线l1叫做椭圆的一条____．③椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比也为定值cosφ，所以l2是椭圆的另一条准线．④记e＝cosφ，我们把e叫做椭圆的______．e的几何意义是，椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的距离的比．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b越小，因此椭圆越扁；

4、反之，e越接近于0，从而b越接近于a，椭圆越接近于圆．当e＝0时，c＝0，a＝b，两个焦点重合，图形就是圆了．可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量．【做一做2－1】F1和F2是椭圆的焦点，P是椭圆上的任一点，PF1＝d1，PF2＝d2，则(　　)A．d1＋d2是常数B．d1－d2是常数C．d1d2是常数D．是常数【做一做2－2】椭圆的离心率e＝，焦距为8，则长轴长为______．【做一做2－3】椭圆的长轴长为10，短轴长为8，则焦距等于(　　)A．6B．8C．10D．3答案：1．椭圆　斜交【做一做1】

5、D　当截面与圆柱的底面平行时，截口是圆，否则是椭圆．2．(1)和　定长　(2)A1A2　B1B2　F1F2　2(3)①cosφ　②cosφ　准线　④离心率【做一做2－1】A【做一做2－2】10　设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，则由题意，知2c＝8，故c＝4.又e＝，故长轴长2a＝＝＝10.【做一做2－3】A　设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a，2b，2c，则由题意，知2a＝10，2b＝8，故a＝5，b＝4，即2c＝2＝6.Dandelin双球探求椭圆性质的过程剖析：通过一条

6、直线与相离的两个等圆的内公切线的情形，类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形，从而得到定理1及有关结论，因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究，这有助于理解椭圆和下一节的知识．圆柱内嵌入两个球，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱和斜截面均相切，这是证明定理的关键．这种方法是数学家Dandelin创立的，故将嵌入的两球称为Dandelin双球．要注意对于Dandelin双球的研究．题型一椭圆的度量性质【例题1】已知平面α与一圆柱的母线成60°角，那么该平

7、面与圆柱截口图形的离心率是(　　)A．B．1C．D．反思：圆柱形物体的斜截口是椭圆，因此，椭圆的度量性质与底面半径、截面及母线夹角密切相关．题型二探讨椭圆的性质【例题2】如图所示，已知球O1，O2分别切平面β于点F1，F2，P1P2为⊙O1的一条直径，Q1，Q2分别为P1，P2在平面β内的平行射影，G1G2＝2a，Q1Q2＝2b，G1G2与Q1Q2垂直平分，求证：F1F2＝2.反思：探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质，要仔细考查Dandelin双球与圆柱及其截平面的关系，综合地应用切线长定理、三角形

8、的相似与全等、解直角三角形，以及平行射影的性质等．答案：【例题1】D　平面与圆柱截口图形为椭圆，其离心率e＝cos60°＝.【例题2】证明：如图，过G1作G1H⊥BG2，H为垂足，则四边形ABHG1是矩形．∴G1H＝AB.∵Q1，Q2分别是P1，P2的平行射影，∴P1Q1綉P2Q2.∴P1Q1Q2P2是平行四边形．∴Q1Q2=P1P2，即Q1Q2等于底面直径．∴G1H=AB=Q1Q2=2b.又由切线长定理，知G1A=G1F1=G2F2，G2F1=G2B，∴G2F1－G2F2=G2B