高中数学第3讲圆锥曲线性质的探讨123平行射影平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线学案新人教a版选修4

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1、一　平行射影二　平面与圆柱面的截线三　平面与圆锥面的截线1．了解平行射影的含义，体会平行射影．2．会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．(重点)3．会用Dandelin双球证明定理1、定理2.(难点)[基础·初探]教材整理1　射影阅读教材P43～P44，完成下列问题．1．正射影给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．2．平行射影设直线l与平面α相交(如图311)，称直线l的方向为投影

2、方向．过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．图311下列说法正确的是(　　)A．平行射影是正射影B．正射影是平行射影C．同一个图形的平行射影和正射影相同D．圆的平行射影不可能是圆【解析】　正射影是平行射影的特例，A不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故C不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，D不正确；只有B正确．【

3、答案】　B教材整理2　两个定理阅读教材P44～P51，完成下列问题．1．椭圆的定义平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．2．两个定理定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则(1)β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(3)β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．下列说法不正确的是(　　)A．圆柱面

4、的母线与轴线平行B．圆柱面的某一轴截面垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜截面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径【解析】　显然A正确；由于任一轴截面过轴线，故轴截面与圆柱的直截面垂直，B正确；C显然正确；D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．【答案】　D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]平面与圆柱面、圆锥面的截线性质的应用　如图312所示，AB

5、，CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线．图312【精彩点拨】　【自主解答】　设⊙O的半径为R，母线VB＝l，则圆锥侧面展开图的中心角为＝π，∴＝，∴sin∠BVO＝，∴圆锥的母线与轴的夹角α＝∠BVO＝.如图，连接OE，∵O，E分别是AB，VB的中点，∴OE∥VA，∴∠VOE＝∠AVO＝∠BVO＝，∴∠VEO＝，即VE⊥OE.又∵AB⊥CD，VO⊥CD，∴CD⊥平面VAB

6、.∵VE⊂平面VAB，∴VE⊥CD.又∵OE∩CD＝O，OE⊂平面CDE，CD⊂平面CDE，∴∠VOE是截面与轴线的夹角，∴截面与轴线夹角大小为.由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线．1．解答本题的关键是求出圆锥的母线与轴的夹角以及截面与轴的夹角．2．判断平面与圆锥面的截线形状的方法(1)求圆锥面的母线与轴线的夹角α，截面与轴的夹角β；(2)判断α与β的大小关系；(3)根据定理2判断交线是什么曲线．[再练一题]1．如图313所示，圆柱面的母线长为2cm，点O，O′分别是上、下底面

7、的圆心．图313若OA⊥O′B′，OA＝1cm.求：(1)OO′与AB′所成的角的正切值；(2)过AB′与OO′平行的截面面积；(3)O到截面的距离．【导学号：07370052】【解】　(1)设过A的母线为AA′，连接AB′，则OO′∥AA′，OO′A′A是矩形．易知△O′B′A′是等腰直角三角形，∴A′B′＝.又AA′＝2，OO′与AB′所成的角为∠B′AA′，∴tan∠B′AA′＝＝.(2)所求截面为矩形AA′B′B，面积等于2cm2.(3)O到截面的距离即OO′到截面的距离，也是O′到截面的距离，也是O′到A′

8、B′的距离．在等腰直角三角形O′A′B′中，O′A′＝O′B′＝1cm，所以O′到斜边A′B′的距离为cm，即O到截面的距离为cm.　利用Dandelin双球研究圆锥曲线问题　一个顶角为60°的圆锥面被一个平面π所截，如图314所示Dandelin双球均在顶点S的下方，且一个半径为1，另一个半径为5，则交线的形状是什么曲线？其离心率是多少？图3