高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨三平面与圆锥面的截线预习导学案新人教a版选修4

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1、三平面与圆锥面的截线预习导航课程目标学习脉络1．了解不平行于底面且不通过圆锥的顶点的平面截圆锥的形状是椭圆、抛物线、双曲线．2．感受平面截圆锥的形状，并从理论上证明．3．通过Dandelin双球探求双曲线的性质，理解这种证明问题的方法.1．定理2文字语言如果用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸)，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现三种情况：如果平面与一条母线平行，那么平面就只与正圆锥的一半相交，这时的交线是抛物线；如果平面不与母线平行，当平面只与圆锥的一半相交，这时的交线为椭圆；当平面与圆锥的两个部分都

2、相交，这时的交线叫做双曲线符号语言在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则(1)β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；(2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；(3)β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线图形语言作用确定交线的形状名师点拨①特别情况：β＝，平面π与圆锥的交线为圆，如图所示．②圆锥曲线的统一性，椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一样，但它们都可以用平面截对顶

3、圆锥面得到，因此，圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e，定义上的统一，必然也蕴含着图形统一．2．圆锥曲线的结构特点(1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长2a)．(2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(2a)．(3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等．3．圆锥曲线的几何性质(1)焦点：Dandelin球与平面π的切点．(2)准线：截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线．(3

4、)离心率：e＝.(4)圆锥曲线的几何性质项目椭圆双曲线抛物线焦点2个2个1个准线2条2条1条离心率e＝＜1e＝＞1e＝1焦距F1F2＝2cc2＝a2－b2F1F2＝2cc2＝a2＋b2—离心率e＝e＝—准线间距—曲线上的点到焦点距离PF1＋PF2＝2a

5、PF1－PF2

6、＝2a—思考在定理2中，当β＜α时，探究截线形状．剖析：如图，当β＜α时，平面π与圆锥面的两部分相交，在圆锥的两部分分别嵌入Dandelin球，与平面π的两个切点分别为F1，F2，与圆锥两部分截的圆分别为S1，S2.在截口上任取一点P，连接PF1

7、，PF2.过P和圆锥的顶点O作母线，分别与两球切于Q1，Q2，则PF1＝PQ1，PF2＝PQ2，所以

8、PF1－PF2

9、＝

10、PQ1－PQ2

11、＝Q1Q2，所以Q1Q2是两圆S1，S2所在平行平面间的母线段的长，且为定值．所以由双曲线的定义知，点P的轨迹为双曲线．