《多元微分学》word版

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1、第七章多元函数的微分学小结小结一、多元函数的定义、极限、连续及其性质1．平面点集邻域，内点，边界，开集，连通，开区域，闭区域，有界点集。2．多元函数3．二重极限：记为，或．函数在点的二重极限存在的充分必要条件是：点以任何方式趋向于点时，函数的极限都存在且相等．4．连续如果，则称在点连续．初等函数在其有定义的区域内处处连续．5．最值定理如果在有界闭区域上连续，则在上一定有最大值和最小值．有界闭区域上的连续函数一定有界．9第七章多元函数的微分学小结6．介值定理如果在有界闭区域上连续，和分别是在上的最大值和最小值．则对于任何实数，只要满足

2、，则至少存在一点，使得．二、偏导数与全微分1．偏导数同样在点处对y的偏导数定义为，对某一个自变量求偏导数，就是将其余的自变量看作常数，对这个变量求一元函数的导数．9第七章多元函数的微分学小结2．高阶偏导数二元函数的二阶偏导数共有四个，其记号和意义分别为，或，；，或，；，或，；，或，．其中，及称为二阶混合偏导数．如果函数的两个二阶混合偏导数及都连续，则它们相等．3．全微分设二元函数在点某邻域中的全增量为为函数在点处的全微分．此时．同理可以定义三元函数的全微分，并有9第七章多元函数的微分学小结．4．可微、可导、连续的关系在多元函数中，可

3、微、可导、连续的关系与一元函数的情况有所不同．在多元函数中1）可微必可导，可导不一定可微；2）可微必连续，连续不一定可微；3）可导不一定连续，连续不一定可导．5．复合函数的偏导数假设下列函数都可微，则有复合函数的求导公式（链式法则）：1）若，，，则复合函数的导数为=+；2）若，，，则复合函数的偏导数=+，=+；9第七章多元函数的微分学小结6．隐函数的偏导数1）方程所确定的隐函数的导数为．2）方程所确定隐函数的偏导数为，．三、二元函数的极值1．极值的定义设函数区域上有定义，点的某个邻域．如果对于中异于的任何点，总有不等式成立，则称为函

4、数的极大值，称为极大值点．如果对于中异于的任何点，总有不等式成立，则称为函数的极小值，称为极小值点．2．取得极值的必要条件如果函数在点的两个偏导数都存在，且在该点函数取得极值，则，．9第七章多元函数的微分学小结可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点．3．取得极值的充分条件设在驻点的某个邻域内有二阶的连续偏导数．令,,,，于是有1）如果，则点是函数的极值点．当时，是极大值，当时，是极小值．2）如果，则点不是函数的极值点．3）如果，则函数在点有无极值不能确定，需用其它方法判别．4．条件极值1）求二元函数在约束条件=0下的极值，可以按

5、照如下步骤进行：i)构造拉格朗日函数；ii)解方程组．9第七章多元函数的微分学小结若是方程组的解，则是该条件极值问题的可疑极值点．2）求三元函数在约束条件=0下的极值点，可以按照如下步骤进行：i)构造拉格朗日函数；ii)解方程组．如果是方程组的解，则点是该条件极值问题的可疑极值点．四．多元微分学的几何应用1．空间曲线的切线与法平面给定空间曲线，其中的三个函数有连续的导数且导数不同时为零（光滑曲线）．上的点对应的参数为．则曲线在点处的切向量为，此时的切线方程为9第七章多元函数的微分学小结．曲线在点的法平面方程为．2．曲面的切平面与法线

6、给定曲面的方程，函数有连续的偏导数且三个偏导数不同时为零（光滑曲面）．点是上的一个点．则曲面在点处的法向量为，此时的切平面方程为，曲面在点的法线方程为．五．方向导数与梯度1．若函数在点可微，方向的方向余弦为，则函数在点沿方向的方向导数为9第七章多元函数的微分学小结．2．设函数在空间区域内可微，则函数在点处的梯度定义为一个向量grad＝．梯度方向是函数变化率最大的方向．在梯度方向上函数的方向导数取得最大值．9