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1、第八章多元函数微分学第一节基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域1二元函数的定义定义1 设，，是三个变量．如果当变量，在在一定范围内任意取定一对数值时，变量按照一定的法则总有确定的数值与它们对应，则称变量是变量，的二元函数，记为.其中，称为自变量，称为因变量.自变量，的取值范围称为函数的定义域.二元函数在点所取得的函数值记为，或2二元函数的定义域二元函数的定义域一般为平面区域上的点集．二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．整个平面或由曲线围成的部分平
2、面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点．不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域．能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，反之称为无界区域．开区域如:闭区域如:注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，，与用什么字母表示自变量与因变量无关．例1求下列函数的定义域，并画出的图形．(1) （2）解（1）要使函数有意义，应有 即，定义域为有界开区域 （2）要使函数有意义，应有，即 定义域为无界闭区域3二元函
3、数的几何意义设是二元函数的定义域内的任一点,则相应的函数值为,有序数组，，确定了空间一点,称点集为二元函数的图形.二元函数的图形通常是一张曲面.注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关.二、二元函数的极限与连续1．二元函数的极限以点为中心，为半径的圆内所有点的集合称为点的邻域，记作．定义2 设二元函数在点的某一邻域内有定义（点可以除外）,点是该领域内异于的任意一点．如果当点沿任意路径趋于点时,函数总无限趋于常数，那么称为函数当时的极限，记为 或
4、说明：（1）定义中的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）倘若沿两条不同的路径，不相等，则可断定不存在，这是证明多元函数极限不存在的有效方法．（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.例2 求极限解 其中 例3 证明不存在．证明：设，则其值随的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：（1）令点沿趋向于，若极限值与有关，则在点处极
5、限不存在;（2）找出两种不同趋近方式，使存在，但两者不相等，则此时在点处极限不存在;2．二元函数的连续性定义3设函数在点的某一邻域内有定义，如果,则称函数在点处连续.定义4 设函数在点的某一邻域内有定义，分别给自变量，在，处以增量，，得全增量 如果极限 则称在处连续．如果函数在区域内每一点都连续,则称函数在区域内连续.如果函数在点不连续，则称点是函数的间断点.例4求．解因为函数是初等函数,且点在该函数的定义域内,故.例5讨论函数的连续性．解 当时，为初等函数,故函数在点处连续.当时，由例6知不存在,所以
6、函数在点处不连续，即原点是函数的间断点．3．有界闭区域上连续函数的性质性质1（最值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，在该区域上一定有最大值和最小值．性质2（介值定理）在有界闭区域上连续的二元函数，必能取得介于函数的最大值与最小值之间的任何值．三、偏导数1.偏导数的定义定义5设函数在的某邻域内有定义,固定,在处给自变量以增量,相应地得到函数关于的得增量(称为偏增量):如果极限存在,则称此极限值为函数在点处对的偏导数,记为，，或.类似地,函数在点处对的偏导数定义为:，记为 ，，或.例6 求在点(1,2)处的偏导数.
7、解把看成常数,得，则；把看成常数,得，则.例7 求函数的偏导数．解:，例8设，证明.证明：因为，，，所以 例9已知理想气体的状态方程PV=RT(R为常数).求证：证:因为,；,；,.所以 ．注：偏导数的记号,是一个整体,不能看成微商,否则导致运算错误．例10 求在点(0,0)处的偏导数.解:.注意:(1)二元函数在某点存在偏导数,并不能保证函数在该点连续,与一元函数可导必连续是不相同的．(2)在分界点处的偏导数，用偏导数定义求．(3)由偏导数的概念可知，在点处关于的偏导数显然就是偏导数在点处的函数值；是偏导数在
8、点处的函数值．从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数看作另一自变量的一元函数的导数．2.偏导数的几何意义：设为曲面上的一点，过作平面截此曲面得一曲线，其方程为，则导数就是曲线在点处的切线对轴的斜率（设切线与轴的倾斜角为，则）．同样，偏导数是曲面与平面的交线在点处的切线对
