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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第八章多元函数微分学第一节基本概念、定理与公式一、二元函数的定义及定义域1二元函数的定义定义1设x，y，z是三个变量．如果当变量x，y在在一定范围D内任意取定一对数值时，变量z按照一定的法则f总有确定的数值与它们对应，则称变量z是变量x，y的二元函数，记为zf(x,y).其中x，y称为自变量，z称为因变量.自变量x，y的取值范围D称为函数的定义域.二元函数在点x0,y0所取得的函数值记为zxx0z或f(x,y)yy，(x
2、0,y0)0002二元函数的定义域二元函数的定义域一般为平面区域上的点集．二元函数的定义域较复杂，它可以是一个点，也可能是一条曲线或几条曲线所围成的部分平面，甚至可能是整个平面．整个平面或由曲线围成的部分平面称为区域；围成区域的曲线称为该区域的边界；边界上的点称为边界点，边界内的点称为内点．不包括边界的区域称为开区域，连同边界在内的区1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯域称为闭区域，部分包括边界的区域称为半开半闭区域．能用封闭曲线围成的区域称为有界区域，
3、反之称为无界区域．22开区域如:(x,y)1xy4yyxoox22闭区域如:(x,y)1xy4注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，，与用什么字母表示自变量与因变量无关．例1求下列函数的定义域，并画出的图形．22(1)zln1xy（2）zarcsin(xy)22解（1）要使函数有意义，应有1xy0即2222xy1，定义域为有界开区域(x,y)xy1（2）要使函数有意义，应有xy1，即2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1xy
4、1定义域为无界闭区域(x,y)1xy13二元函数的几何意义设P(x,y)是二元函数zf(x,y)的定义域D内的任一点,则相应的函数值为zf(x,y),有序数组x，y，z确定了空间一点M(x,y,z),称点集(x,y,z)zf(x,y),(x,y)D为二元函数的图形.二元函数zf(x,y)的图形通常是一张曲面.注：和一元函数一样，二元和二元以上的函数也只与定义域和对应关系有关，与用什么字母表示自变量与因变量无关.二、二元函数的极限与连续1．二元函数的极限以点P0(x0,y0)为中心，为半径的圆内所有点的集3⋯⋯⋯⋯⋯
5、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯22合(x,y)(xx0)(yy0)称为点P0的邻域，记作U(P0,)．定义2设二元函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义（点P0可以除外）,点P(x,y)是该领域内异于P0的任意一点．如果当点P(x,y)沿任意路径趋于点P0(x0,y0)时,函数f(x,y)总无限趋于常数A，那么称A为函数zf(x,y)当(x,y)(x0,y0)时的极限，记为limf(x,y)A或limf(x,y)Axx0(x,y)(x0,y
6、0)yy0说明：（1）定义中PP0的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数.（2）倘若沿两条不同的路径，limf(x,y)不相等，xx0yy0则可断定limf(x,y)不存在，这是证明多元函数极限xx0yy0不存在的有效方法．（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似，如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、等价无穷小代换等.4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
7、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2sin(xy)lim例2求极限x0x2y2y02sin(xy)22sin(xy)xy解limx022lim222xyx0xyxyy0y022xy1sin(xy)其中22xlimx0220xy2xyy03xylim例3证明x062不存在．xyy0363xykxk证明：设ykx，则limx062limx06262其xyxkx1ky0y0值随k的不同而变化，故极限不存在．确定极限不存在的方法：（1）令点P(x,y)沿ykx趋向于P0(x0,y0)，若极限值与k有关，则f(x,y)在点P0(x0,y
8、0)处极限不存在;（2）找出两种不同趋近方式，使limf(x,y)存在，但xx0yy0两者不相等，则此时f(x,y)在点P0(x0,y0)处极限不存在;2．二元函数的连续性定义3设函数zf(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果limf(x,y)f(x0,y0),则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)xx0yy0处连续.5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
