高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换自主训练 新人教a版必修4

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1、3.2简单的三角恒等变换自主广场我夯基我达标1.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=且β在第三象限,则cos为()A.-B.±C.-D.±思路解析:由题意,知sin(α-β-α)=,即sin(-β)=.∴sinβ=-.∵β是第三象限角,∴cosβ=-,且是二、四象限角.∴cos=±=±=±.答案:B2.设α、β为钝角,且sinα=,cosβ=,则α+β的值为()A.B.C.D.或思路解析:先求α+β的某种三角函数值.由题意,知cosα=-,sinβ=,∴cos(α+β)=-×()-×=.∵<α<π,<

2、β<π,∴π<α+β<2π.∴α+β=.答案:C3.下列各式中值为的是()A.sin15°cos15°B.cos2-sin2C.D.思路解析:将四个选择项分别进行化简得出结果即可.答案:C4.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=m且β为第三象限角,则cosβ为()A.B.C.D.思路解析:由题意,知sin(α-β-α)=sin(-β)=m,∴sinβ=-m.又∵β为第三象限角,∴cosβ=.本题也可用排除法,由β为第三象限角,排除A,C,又m2-1<0,故选B.答案:B5.(2005重庆高考卷,理13

3、)若α、β为锐角且cos(α+β)=sin(α-β),则tanα=_______________.思路解析:可先将条件利用公式展开,再变形求得.由题意,知cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,即(sinβ+cosβ)cosα=(cosβ+sinβ)sinα.又∵α、β为锐角,∴sinβ+cosβ≠0.∴tanα=1.答案:16.若tan(α+)=3+,则=____________.思路解析:先将所求式子变形,再根据条件求解.原式==tanα.(sinα≠0)由tan(α+)==3+,解

4、得tanα=.答案:7.已知sinα=,且α为第二象限角,则tan的值为_________________.思路解析:可将tan化为含sinα、cosα的形式再求解.∵α为第二象限角,∴cosα=,tan=.答案:我综合我发展8.化简:2cos210°-tan5°(1+cos10°)-2sin40°sin80°.思路分析:可将题目所给角化为特殊角或同角的形式再化简求值.解:原式=1+cos20°-tan5°·2cos25°+cos120°-cos40°=1+cos20°-sin10°--cos40°=+(cos20°-

5、cos40°)-sin10°=+2sin30°sin10°-sin10°=+sin10°-sin10°=.9.已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R.(1)θ=0时,求f(x)的单调增区间;(2)θ∈(0,π)且sinx≠0,当θ为何值时,f(x)为偶函数?思路分析:(1)将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式求单调区间;(2)根据偶函数的定义求θ.解:(1)由θ=0,得f(x)=sinx+cosx=2sin(x+),由2kπ-≤x+≤2kπ+,得2kπ-≤x≤2kπ+.∴f(x)的单调增区

6、间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).(2)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)恒成立,即sin(x+θ)+sin(x-θ)=cos(x+θ)-cos(x-θ),即2sinxcosθ=-2sinxsinθ,即2sinx(cosθ+sinθ)=0.∵sinx≠0,∴cosθ+sinθ=0.∴tanθ=-1.又∵θ∈(0,π),∴θ=.10.把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m(m>0)个单位,所得图象关于y轴对称,求m的最小值.思

7、路分析:先将原函数化为Asin(ωx+φ)+B的形式,再根据图象的有关知识求m的最小值.解:y=cosx-sinx=-2sin(x-),向左平移m(m>0)个单位后的解析式为y=-2sin(x+m-).由于它的图象关于y轴对称,则当x=0时,y取得最值.此时由m-=kπ+,得m=kπ+.又因m>0,所以当k=0时,m取得最小正值.11.发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数:IA=Isinωt,IB=Isin(ωt+120°),IC=Isin(ωt+240°).你能算算它们的电流之和吗?

8、思路分析:利用诱导公式及两角和与差的公式化简即可.解:I′=IA+IB+IC=I[sinωt+sin(ωt+120°)+sin(ωt+240°)]=I[sinωt+sin(60°-ωt)-sin(ωt+60°)]=I(sinωt+cosωt-sinωt-cosωt-sinωt)=I(sinωt-sinωt)=0.所以电流之和为0.

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1、3.2简单的三角恒等变换自主广场我夯基我达标1.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=且β在第三象限,则cos为()A.-B.±C.-D.±思路解析:由题意,知sin(α-β-α)=,即sin(-β)=.∴sinβ=-.∵β是第三象限角,∴cosβ=-,且是二、四象限角.∴cos=±=±=±.答案:B2.设α、β为钝角,且sinα=,cosβ=,则α+β的值为()A.B.C.D.或思路解析:先求α+β的某种三角函数值.由题意,知cosα=-,sinβ=,∴cos(α+β)=-×()-×=.∵<α<π,<

2、β<π,∴π<α+β<2π.∴α+β=.答案:C3.下列各式中值为的是()A.sin15°cos15°B.cos2-sin2C.D.思路解析:将四个选择项分别进行化简得出结果即可.答案:C4.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=m且β为第三象限角,则cosβ为()A.B.C.D.思路解析:由题意,知sin(α-β-α)=sin(-β)=m,∴sinβ=-m.又∵β为第三象限角,∴cosβ=.本题也可用排除法,由β为第三象限角,排除A,C,又m2-1<0,故选B.答案:B5.(2005重庆高考卷,理13

3、)若α、β为锐角且cos(α+β)=sin(α-β),则tanα=_______________.思路解析:可先将条件利用公式展开,再变形求得.由题意,知cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,即(sinβ+cosβ)cosα=(cosβ+sinβ)sinα.又∵α、β为锐角,∴sinβ+cosβ≠0.∴tanα=1.答案:16.若tan(α+)=3+,则=____________.思路解析:先将所求式子变形,再根据条件求解.原式==tanα.(sinα≠0)由tan(α+)==3+,解

4、得tanα=.答案:7.已知sinα=,且α为第二象限角,则tan的值为_________________.思路解析:可将tan化为含sinα、cosα的形式再求解.∵α为第二象限角,∴cosα=,tan=.答案:我综合我发展8.化简:2cos210°-tan5°(1+cos10°)-2sin40°sin80°.思路分析:可将题目所给角化为特殊角或同角的形式再化简求值.解:原式=1+cos20°-tan5°·2cos25°+cos120°-cos40°=1+cos20°-sin10°--cos40°=+(cos20°-

5、cos40°)-sin10°=+2sin30°sin10°-sin10°=+sin10°-sin10°=.9.已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R.(1)θ=0时,求f(x)的单调增区间;(2)θ∈(0,π)且sinx≠0,当θ为何值时,f(x)为偶函数?思路分析:(1)将f(x)化为Asin(ωx+φ)的形式求单调区间;(2)根据偶函数的定义求θ.解:(1)由θ=0,得f(x)=sinx+cosx=2sin(x+),由2kπ-≤x+≤2kπ+,得2kπ-≤x≤2kπ+.∴f(x)的单调增区

6、间为[2kπ-,2kπ+](k∈Z).(2)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ)恒成立,即sin(x+θ)+sin(x-θ)=cos(x+θ)-cos(x-θ),即2sinxcosθ=-2sinxsinθ,即2sinx(cosθ+sinθ)=0.∵sinx≠0,∴cosθ+sinθ=0.∴tanθ=-1.又∵θ∈(0,π),∴θ=.10.把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m(m>0)个单位,所得图象关于y轴对称,求m的最小值.思

7、路分析:先将原函数化为Asin(ωx+φ)+B的形式,再根据图象的有关知识求m的最小值.解:y=cosx-sinx=-2sin(x-),向左平移m(m>0)个单位后的解析式为y=-2sin(x+m-).由于它的图象关于y轴对称,则当x=0时,y取得最值.此时由m-=kπ+,得m=kπ+.又因m>0,所以当k=0时,m取得最小正值.11.发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数:IA=Isinωt,IB=Isin(ωt+120°),IC=Isin(ωt+240°).你能算算它们的电流之和吗?

8、思路分析:利用诱导公式及两角和与差的公式化简即可.解:I′=IA+IB+IC=I[sinωt+sin(ωt+120°)+sin(ωt+240°)]=I[sinωt+sin(60°-ωt)-sin(ωt+60°)]=I(sinωt+cosωt-sinωt-cosωt-sinωt)=I(sinωt-sinωt)=0.所以电流之和为0.

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