高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换成长训练 新人教a版必修4

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1、3.2简单的三角恒等变换主动成长夯基达标1.已知cosθ=,π＜θ＜2π,则sin等于()A.B.C.-D.±解析:∵π＜θ＜2π,∴＜＜π.∴sin＞0.∴sin=.答案:B2.在tan的定义域内,下列各式中恒成立的一个是()A.tan=B.tan=-C.tan=D.tan=解析:≠+kπ,k∈Z,∴x≠π+2kπ.答案:C3.已知cosα=,且π＜α＜,则cos的值等于()A.B.-C.D.-解析:∵π＜α＜,∴＜＜.∴cos＜0.∴cos=答案:B4.已知2π＜θ＜4π,且sinθ=,cosθ＜0,则tan的值等于()A.-3B.3C.-D.解析:由题意知θ为第三象限角,3π＜θ＜

2、,∴＜＜.∴tan＜0,cosθ==-.∴tan=.答案:A5.已知sinα=,且α是第二象限角,则tan的值是()A.B.5C.5或D.-5或解析:∵α是第二象限角,∴是第一,三象限角.∴tan＞0.cosα=.∴tan=答案:B6.若α+β=,则()A.cos=-B.sin=C.tan=±D.tan=±解析:因为α,β的象限不确定,所以根号前的符号不确定,排除A,B.tan=±故选C.答案:C7.已知2sinθ=1+cosθ,则tan的值为()A.2B.C.或0D.2或0解析:若1+cosθ≠0,则tan==.若1+cosθ=0,即cosθ=-1,∴θ=2kπ+π.∴tan=0.答案

3、:C8.若tanα=2,则的值是()A.B.C.D.-解析:原式=.答案:A9.在△ABC中,cos(+A)=,那么cos2A=____________.解析:∵cos(+A)=,∴sin(+A)=.∴sin［2(+A)］=2sin(+A)·cos(+A)=2××=.∴cos2A=.答案:10.若α是第三象限角,且sin(α+β)cosβ-sinβcos(α+β)=-,则tan=____________.解析:原式化为(sinαcosβ+cosαsinβ)cosβ-sinβ(cosαcosβ-sinαsinβ)=-,即sinαcos2β+cosαsinβcosβ-sinβcosβcosα

4、+sinαsin2β=-,sinα=-.∵α是第三象限角,∴是第二,四象限角.cosα=,∴tan=.答案:-511.已知sinφ·cosφ=,且＜φ＜,求sinφ,cosφ的值.解:方法一:∵sinφcosφ=,∴sin2φ=.又∵＜φ＜,＜2φ＜π,cos2φ＜0,∴cos2φ=,sinφ＞0,cosφ＞0.∴sinφ=,cosφ=.方法二:(sinφ+cosφ)2=1+2sinφcosφ=1+=,∵＜φ＜,sinφ＞0,cosφ＞0.∴sinφ+cosφ=.①又(sinφ-cosφ)2=1-2sinφcosφ=1-=,∵＜φ＜,则sinφ＞cosφ＞0,∴sinφ-cosφ＞0,s

5、inφ-cosφ=.②解①②的方程组得sinφ=,cosφ=.走近高考12.(2005江西高考,18)已知向量a=(2cos,tan(+)),b=(sin(+),tan(-)),令f(x)=a·b,求函数f(x)的最大值、最小正周期,并写出f(x)在［0,π］上的单调区间.解:f(x)=a·b=cossin(+)+tan(+)tan(-)=22cos·(sin+cos)+=2sincos+2cos2-1=sinx+cosx=sin(x+).所以f(x)的最大值为,最小正周期为2π,f(x)在［0,］上单调递增,在［,π］上单调递减.13.(2005天津高考,17)已知sin(α-)=,c

6、os2α=,求sinα及tan(α+).解:方法一:由题设条件,应用两角差的正弦公式得=sin(α-)=(sinα-cosα),即sinα-cosα=.①由题设条件,应用二倍角余弦公式得=cos2α=cos2α-sinα=(cosα-sinα)(cosα+sinα)=-(cosα+sinα),故cosα+sinα=.②由①式和②式得sinα=,cosα=-.因此,tanα=-.由两角和的正切公式tan(α+)=.方法二:由题设条件,应用二倍角余弦公式得=cos2α=1-2sin2α.解得sin2α=,即sinα=±.由sin(α-)=可得sinα-cosα=.由于sinα=+cosα＞0

7、,且cosα=sinα-＜0,故α在第二象限,于是sinα=,从而cosα=sinα-=-.以下同方法一.14.(经典回放)已知sinx+cosx=,0≤x＜π,则tanx的值为()A.B.C.D.或解析:由sinx+cosx=,两边平方得sin2x=-.①由0≤x＜π知0≤2x＜2π.由①知π＜2x＜2π＜x＜π.又由已知sinx+cosx=＞0知只能＜x＜π＜2x＜.②由①②得cos2x=.∴tanx=.答案:A15.求函数y=