高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换达标训练 新人教a版必修4

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1、3.2简单的三角恒等变换更上一层楼基础•巩固1.已知sin(α-)=，则cos(+α)的值等于()A.B.C.D.思路分析:cos(+α)=sin［-(+α)］=sin(-α)=-sin(α-)=-.答案:C2.已知sinα=，α是第二象限的角，且tan(α+β)=1，则tanβ的值是()A.-7B.7C.D.思路分析:∵sinα=，α是第二象限角，∴cosα=.∴tanα=.又∵tan(α+β)=1，β=(α+β)-α，∴tanβ=tan［(α+β)-α］.答案:B3.已知tanα、tanβ是方程x2+x+4=

2、0的两根，且α、β∈(，)，则α+β等于()A.B.C.或D.或思路分析:由题意知tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，∴tanα＜0且tanβ＜0.又∵α、β∈(，)，∴α、β∈(,0),α+β∈(-π,0).由tan(α+β)=，(α+β)∈(-π，0)，得α+β=-.答案:B4.函数y=sin2xcos2x是()A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数思路分析:y=sin4x，.又f(-x)=sin(-4x)=-sin4x=-f(x)，它是奇函数.答案:A5.在△ABC

3、中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是()A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形思路分析:由已知等式得［cos(A-B)-cos(A+B)］=(1+cosC).又A+B=π-C，∴cos(A-B)-cos(π-C)=1+cosC.∴cos(A-B)=1.又-π＜A-B＜π，∴A-B=0.∴A=B，即三角形为等腰三角形.答案:B6.给出下列命题①存在实数α，使sinαcosα=1；②存在实数α，使sinα+cosα=；③y=sin()是偶函数；④x=是函数y=sin(2x+)的一条对称轴

4、方程；⑤若α、β是第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.其中正确命题的序号是_________.(注：把你认为正确的命题的序号都填上)思路分析:对于①可化为sin2α=2，不成立；对于②可化为sin(α+)=>1，不成立；对于③可化为y=sin(2π+-2x)=sin(-2x)=cos2x，显然成立；对于④，把x=代入得y=sin(2×+)=sin=-1，显然成立；对于⑤，不妨取α=，β=，此时tanα=1，tanβ=3，显然不成立.综上,可知③④成立.答案:③④综合•应用7.已知函数f(x)=，则f(1)

5、+f(2)+f(3)+…+f(2005)=____________.思路分析:函数f(x)=的周期T=2π÷=6.∵f(1)+f(2)+…+f(6)=sin+sin+sinπ+sin+sin+sin2π=0，∴f(1)+f(2)+…+f(2004)+f(2005)=f(2005)==sin(668π+)=.答案:8.求函数的最大值.解：，∵-1≤sin(x+)≤1，∴当sin(x+)=-1时，ymax==.9.已知sin(θ+)sin(θ-)=，求tanθ的值.思路分析:已知条件中的两角之差是常数，所以将式子积化

6、和差，出现常数和单个的角，利用方程获得2θ的余弦值，再利用半角公式可以求得tanθ的值.解:∵sin(θ+)sin(θ-)=，∴(cos-cos2θ)=.∴cos2θ=，sin2θ=±，从而.10.已知函数f(x)=5sinxcosx-(x∈R)，(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调增区间；(3)求f(x)图象的对称轴、对称中心.解：f(x)=sin2x-=5(sin2xcos-cos2xsin)=5sin(2x-).(1)f(x)的最小正周期T==π.(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，得-+

7、kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调增区间是［-+kπ，+kπ］，k∈Z.(3)令2x-=kπ+，得x=kπ+，k∈Z，即函数f(x)的对称轴方程是x=kπ+，k∈Z.令2x-=kπ，得x=kπ+，k∈Z，即函数f(x)的对称中心是(，0)，k∈Z.回顾•展望11.(2006临沂统考)求函数y=cos3x·cosx的最值.思路分析:利用化积公式将两个角的余弦化为一个角的三角函数值，从而转化为二次函数的最值.解:y=cos3x·cosx=(cos4x+cos2x)=(2cos22x-1+cos2x)=co

8、s22x+cos2x-=(cos2x+)2-.∵cos2x∈［-1，1］，∴当cos2x=时，y取得最小值；当cos2x=1时，y取得最大值1.