高中数学 第10讲 平面向量及其应用寒假课程学案 新人教版

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1、第十讲平面向量及其应用一、知识梳理1.向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.2.向量的表示：①用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；3.向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作.4.几组特殊的向量：①零向量：长度为零方向任意的向量叫做零向量，记作0或.②单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.③平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记作.④相等向量：长度相等且方

2、向相同的向量叫做相等向量.若与相等，记作.⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量.向量的相反向量记为.5.向量加法：①规定：，，即；②向量加法的三角形法则③向量加法的平行四边形法则：6.向量加法的运算律：交换律：；结合律：.7.向量减法：三角形法则即表示从向量的终点指向被减向量的终点的向量.8.向量的数乘的定义：一般的，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）；（2）当>0时，与方向相同，当<0时，与，方向相反，当＝0时，＝.实数与向量相乘，叫做向量的数乘.9.向量数乘的运算律：（1）（结合

3、律）；（2）（分配律）；（3）（分配律）.10.向量共线定理：一般地，对于两个向量（），，如果有一个实数，使得，那么与是共线向量，反之，如果与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得.11.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使=+.我们把不共线的向量，叫做表示这个平面内所有向量的一组基底.12.向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，任取一个向量，有且只有一对实数x、y，使得，则把（x，y）叫做向量的直角坐标

4、，记作：=（x，y）.13.向量坐标运算：已知，，，，.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.14.共线向量坐标表示的一般性结论：设，（≠），如果∥，那么；反过来，如果，那么∥.结论（简单表示）：向量与共线.15.向量的夹角：对于两个非零向量和，作=，=，则（0°≤θ≤180°）叫做向量和的夹角.特别地，当θ=0°时，与同向；当θ=180°时，与反向；当θ=90°时，则称向量与垂直，记作⊥.16.平面向量数量积：已知两个非零向量和，它们的夹角是θ

5、，我们把数量

6、

7、

8、

9、cosθ叫做向量和的数量积，记作·，即：·=

10、

11、

12、

13、cosθ.向量数量积的运算律：设向量，，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：（1）·=·；（交换律）；（2）（λ）·=·（λb）=λ（·）=λ·；（结合律）；（3）（a+）·=·+·.（分配律）.17.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为=（x1，y1），=（x2，y2），则·=x1x2+y1y2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.二、方法归纳（1）以“基底”形式出现的向量问题通常将题中的化为以某一点为统一起点，再进行向量运算会非常

14、方便；（2）以坐标形式出现的向量问题可以尽可能利用解析思想，转化为函数或方程方法求解；在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键.分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算.三、课堂训练例1.设向量a＝（1，0），b＝，则下列结论中正确的是（　　）A.

15、a

16、＝

17、b

18、B.a·b＝C.a－b与b垂直D.a∥b答案：C解析：A项，∵

19、a

20、＝1，

21、b

22、＝＝，∴

23、a

24、≠

25、b

26、；B项，∵a·b＝1×＋0×＝；C项，∵a－b＝（1，0

27、）－＝，∴（a－b）·b＝·＝－＝0；D项，∵1×－0×≠0，∴a不平行b.例2.已知是夹角为的两个单位向量，若，则的值为.答案：解析：由得：，，.例3.△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，

28、a

29、＝1，

30、b

31、＝2，则＝（　）A.a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b答案：B解析：由角平分线的性质得

32、

33、＝2

34、

35、，即有＝＝（－）＝（a－b）.从而＋＝b＋（a－b）＝a＋b.故选B.例4.已知向量a，b满足

36、a

37、＝1，

38、b

39、＝2，a与b的夹角为60°，则

40、a－b

41、＝________.答案：解析：

42、a－b

43、＝

44、＝＝＝.例5.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且，，若（λ，μ∈R），则λ+μ的值为.ABCO答案：6解析：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由∠BOC=90°，∠AOC=30°，得平行四边形的边长为2和4，故λ+μ=2+4=6.例6.已知①求；②