高中数学 第7讲 函数的综合应用寒假课程学案 新人教版

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1、第七讲函数的综合应用一、知识梳理函数的综合应用函数的解析式函数的图象和性质函数的值域和最值函数与方程函数与不等式函数与实际问题（数学模型）二、方法归纳1.函数综合应用的重点函数的综合应用重点解决好四个问题：①准确深刻地理解函数的有关概念；②揭示函数与其他数学知识的内在联系；③把握数形结合的思想和方法；④认识函数思想的实质，强化应用意识.准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，函数概念是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、不等式、初等函数等都是以函数为中心的代数.揭示函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观

2、点可以从较高的角度处理数、式、方程、不等式、直线与圆的方程等内容.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量生动的辩证统一，揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.把握数形结合的思想和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的思想与方法.因此，既要从定形、定性、定理、定位等方面精确地观察图形、绘制简图，又要熟练地掌握函数图象的常规变换，体现了“数”变换与“形”变换的辩证统一.认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是应用

3、联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数模型，求得问题的解决.函数思想方法的应用不但重要，而且广泛，必须强化函数建模思想的应用，学会运用函数建模的思想方法解决实际问题.2.高中上学期函数的应用（1）函数图象、性质与最值的综合应用；（2）函数与方程、不等式的综合应用；（3）函数模型的综合实际应用.三、典型例题精讲【例1】已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，，若，则（）A.       　　　B.   　　　　　  C.  　　　　    D.解析：由条件，，由此解得，.所以，，故选B技巧提示：这是函数的解析式与函数的奇偶性的综合，属于函数自身性质间的综合，难度不大，高考常作选择题.又

4、例：设函数和分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（　　） A.+

5、

6、是偶函数               B.-

7、

8、是奇函数C.

9、

10、+是偶函数              D.

11、

12、-是奇函数解析：因为是R上的奇函数，所以是R上的偶函数，从而是偶函数，故选A.【例2】已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是________.解析：单调递减且值域为(0，1]，单调递增且值域为（－∞，1），有两个不同的实根，则实数的取值范围是（0，1）.技巧提示：这是函数与方程的综合.根据函数的单调性可以作出函数的简图，数形结合时，把方程视为常数函数，问题被等价转换为两函数图象有两交点，

13、容易得到的取值范围.又例：已知函数，若，则实数的值等于（　　）A.－3　　　　B.－1　　　C.1　　D.3解析：显然，问题转化为求方程的解.由函数，得，∴.故选A.再例:设函数，若，则实数（　　）A.－4或－2B.－4或2C.－2或4　D.－2或2解析：由，得；由，得，∴.故选B.【例3】函数的值域是（）A.B.　　　　C.D.解析：∵＞0，∴，即.故选C.技巧提示：由求函数的值域，转化为解简单的指数不等式，题目并不难.若改为函数的定义域，有≥0，即≤.而函数是Ｒ上的增函数，∴定义域为.又例：设函数＝则满足≤2的的取值范围是（　　）A.[－1，2]B.[0，2]C.[1，＋）D.[0，＋）解

14、析：∵≤2时，0≤≤1；又≤2时，＞1.∴满足≤2的的取值范围是[0，＋），故选D.再例:若，则定义域为（）A.B.C.D.解析：由解得，故，选A.【例4】函数，（1）若的定义域为，求实数的取值范围.（2）若的定义域为[－2，1]，求实数的值.解析：（1）①若，即.当＝1时，，定义域为R，适合；当＝－1时，，定义域不为R，不符合.②若，记为二次函数.定义域为R，∴对恒成立.∴；∴综合①、②得的取值范围.（2）命题等价于不等式的解集为[－2，1]，显然.∵且、是方程的两根，∴，解得的值为＝2.技巧提示：这是二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的综合问题，需要灵活地进行等价转换.在第一问中，需要

15、对进行分类讨论.又例：设函数，求使成立的的取值范围.解析：由于是增函数，∴等价于　≥……①（1）当≥1时，＝2，∴①式恒成立.（2）当－1＜＜1时，＝2，①式化为2≥，即≤＜1.（3）当≤－1时，＝－2，①式无解.综上的取值范围是.再例：设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是.解析：依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立.当时函数取得最小值，所以，即，解得或【例5】已知.（1）求的定义域；（2）