高中数学 第2讲 函数的解析式、定义域和值域寒假课程学案 新人教版

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1、第二讲函数的解析式、定义域和值域一、知识梳理1．函数的概念设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数，按照确定的法则，都有唯一确定的数与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作，．函数的本质含义是定义域内任一值，必须有且仅有惟一的值与之对应．函数的定义域与值域：函数的定义中，自变量取值的范围叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．函数好比数的加工厂，定义域是加工范围，值域是产品系列，是加工手段．2．函数的表示法：列表法，图象法，解析

2、法．　　图象法和解析法是考查的重点．3．映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按照某种对应法则，对A中的任意一个元素，在B中有一个且仅有一个元素与对应，则称是集合A到集合B的映射．这时，称是在映射作用下的象，记作，于是＝，称作的原象．映射也可记为其中A叫做映射的定义域，由所有象构成的集合叫做映射的值域．二、方法归纳求函数的解析式的一般方法：配凑法、换元法、待定系数法、特殊值法等等．求函数的定义域的一般原则：分母不为零，偶次根下的式子不负，零的零次幂没意义，零和负数无对数，等等．求函数的值域的常见方法：

3、直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等．判断某“对应法则”是否为A→B的映射，主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应；应特别注意：①A中任一元素在B中应有象，且象唯一；②B中可以有空闲元素，即B中可以有元素没有原象．三、典型例题精讲【例1】如果，那么＝.解析：方法一（配凑法）∵＝，∴＝＝．方法二（换元法）设，则，于是＝，即＝．技巧提示：（1）凑配法：若已知的表达式，需求的表达式，可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再将统一换为，求出的表达式．（2）换元法：已知

4、的表达式，需求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式．用凑配法和换元法求的解析式时，不单是关注对应法则的变化，还需要考虑定义域的变化．又例:已知，，求函数.错解分析：∵＝，∴＝，.定义域是函数的一个要素，没有考虑定义域的变化，所求函数出错．解析：∵＝，又∵，有，∴＝，.再例:已知函数满足＝（＞0，≠1，＞0)，求的表达式.错解分析：令，于是＞1，＞0；，＜0．将代入，得＝，∴＝（＞1，＞0；，＜0）．在＞0，≠1，＞0的条件下，．解析：令，，将代入，得＝∴＝（＞0，，）．

5、【例2】已知二次函数＝满足，求的表达式解析：由，，．得　并且，，不能同时等于1或－1，所以所求函数为：＝或＝或＝或＝或＝或＝.技巧提示：待定系数法：若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式．又例:已知一次函数满足＝，求的表达式．解析：设＝，则＝，＝，由＝，得．比较系数及常数项，得，∴，．∴＝．再例:如果函数N+）满足＝0，＝2，且＜．求函数的解析式．解析：依题意，得，即．∴．又由，得．∵∈N+，∴，．∴＝1或＝2．又＝2，故当＝1时，＝0，不

6、符合题意；当＝2时，＝2．∴．【例3】已知满足对任意，，有．求．解析：∵　　……①将用代之，得……②由①，②得．技巧提示：若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法．又例：设满足＝1，并且对任意实数、都成立，求的解析式．解析：方法一：由＝1，令＝，得，∴＝.方法二：令＝0，得，∴＝．技巧提示：赋值法：在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式．【例4】求函数的定义域．解

7、析：这个函数是两项之和，由第一项有：，由第二项有：，，取两者之交集，得所求函数的定义域为．技巧提示：求函数的定义域就是要使函数有意义，目前我们知道：分母为零无意义，负数开偶次方无意义，零的零次幂没意义，零和负数的对数无意义等等．求函数的定义域往往需要解不等式或不等式组；使函数有意义就要使函数的每一部分都要有意义，所以通常需要求数集的交集．又例:（1）函数的定义域是　　　　　　　．（2）函数的定义域是　　　　　　　.解析：（1）要使函数有意义，必须有，即．应填：．（2）要使函数有意义，必须有≥0，∴，即．

8、应填：．再例：函数的定义域是.解析：这是分段函数，其定义域应是各段函数定义域的并集，应填：．【例5】若的定义域为，则的定义域是．解析：由，有得的定义域为．应填：．技巧提示：函数的定义域为，意思是只能对中的数作用，也就是对中的数才有意义．函数要有意义，必须对能作用，所以必须．又例:已知函数的定义域是全体实数，则的取值范围是（）A．0＜≤4B．0≤≤1C．≥4D．0≤≤4错解分析：由≥０对全体实数都成立，得，即．∴的取值范围是0＜≤4．故选A．