高中数学 第3讲 函数的基本性质寒假课程学案 新人教版

《高中数学 第3讲 函数的基本性质寒假课程学案 新人教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三讲函数的基本性质一、知识梳理1.奇偶性（1）定义：设函数＝的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且＝－，那么这个函数叫做奇函数.设函数＝的定义域为，如果对于内任意一个，都有，且＝，那么这个函数叫做偶函数.（2）如果函数不具有上述性质，则不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则既是奇函数，又是偶函数.函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质.（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个，则也一定在定义域内.即定义域是关于原点对称的点

2、集.（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y轴对称.（5）奇偶函数的运算性质：设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.（6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数的图象关于直线对称，则；若函数的图象关于点对称，则.2.单调性（1）定义：一般地，设函数的定义域为，区间.如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间；如果对于区间内的任意两个值，

3、，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间.（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质.（3）设复合函数，其中，A是定义域的某个区间，B是映射g:→的象集.①若在A上是增（或减）函数，在B上也是增（或减）函数，则函数在A上是增函数；②若在A上是增（或减）函数，而在B上是减（或增）函数，则函数在A上是减函数.（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反.③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数

4、是增函数；减函数增函数是减函数.3.最值（1）定义：设函数＝的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的∈I，都有≤M；②存在∈I，使得＝M，那么，称M是函数＝的最大值.设函数＝的定义域为I，如果存在实数满足：①对于任意的∈I，都有≥；②存在∈I，使得＝，那么，称是函数＝的最小值.（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在∈I，使得＝M（）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的∈I，都有≤M（≥）.二、方法归纳1.利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断

5、其定义域是否关于原点对称；（2）确定与的关系；（3）作出相应结论：若＝或－＝0，则是偶函数；若＝－或＋＝0，则是奇函数.2.利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取，∈D，且＜；（2）作差；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差的正负）；（5）下结论（即指出函数在给定的区间D上的单调性）.3.求函数最大（小）值的一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值.求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等.（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值.

6、（3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性.（1）；（2）.错解分析：（1）∵.显然有＝，∴为偶函数.（2）∵，于是≠且≠－.∴为非奇非偶函数.解析：（1）∵的定义域为≥０，即－1≤＜1.定义域不是关于原点对称的数集，∴为非奇非偶函数.（2）∵的定义域为且≠０，即－1＜＜1且≠0，此时.∴，∴为奇函数.技巧提示：正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域.又例:判断下列函数的奇偶性.（1）；（2）；（3）.解析：（1）∵≥0，即－1≤≤1.此时，∴，为奇函数.（2）当

7、＞0，－＜0时，＝，＝，＝－；当＜0，－＞0时，＝，＝，＝－；∴为奇函数.（3）∵的定义域为.此时函数化为＝0，.∴既是奇函数又是偶函数.【例2】讨论函数的奇偶性.解析：函数定义域为R，又＝.∴为偶函数.技巧提示：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）.如本题亦可先化简：，显然为偶函数.从这可以看出，化简后再解决要容易得多.又例：证明函数为奇函数.解析：∵＋＝＋＝＝＝0∴为奇函数.再例：讨论函

8、数（≠0）的奇偶性.解析：∵≤，∴要分＞0与＜0两类讨论.（i）当＞0时，由，函数的定义域为，∵≥0，∴，为奇函数；（ii）当＜0时，由，函数的定义域为，∵≤0，∴，既不是奇函数，也不是偶函数.【例3】求函数的单调区间.错解分析：设，　∴为函数的单调递减区间；为函数的单调递增区间.又为的减函数，∴为函数的单调递增区间；为函数的单调递减区间.解析：设，由得函数的定义域为，区