高中数学 第9讲 三角函数的图像及性质寒假课程学案 新人教版

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1、第八讲三角函数一、知识梳理1.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：2.周期函数定义：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期.结论：如果函数对于，那么函数的周期T=2k；如果函数对于，那么函数的对称轴是3.图象的平移对函数y＝Asin（ωx＋j）＋k（A＞0，ω＞0，j≠0，k≠0），其图象的基本变换有：（1）振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的.A＞1，伸长；A＜1，缩短.（2）周期变换（横向伸缩变换）：是由ω的变化引起的.ω＞1，缩短；ω＜1，伸长.（3）相位变换（横向平移变换）：是由φ

2、的变化引起的.j＞0，左移；j＜0，右移.（4）上下平移（纵向平移变换）：是由k的变化引起的.k＞0，上移；k＜0，下移二、方法归纳1.求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求的值域；③化为关于（或）的二次函数式；2.三角函数的周期问题一般将函数式化为（其中为三角函数，）．3.函数为奇函数；函数为偶函数函数为偶函数；函数为奇函数4.函数的单调增区间可由解出，单调减区间可由解出；函数的单调增区间可由解出，单调减区间可由解出.5.对称性：（1）函数对称轴可由解出；对称中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为.（即整体代换法）（2）函数对称轴可由解出；对称中心的横坐标是方程的解

3、，对称中心的纵坐标为.（即整体代换法）（3）函数对称中心的横坐标可由解出，对称中心的纵坐标为，函数不具有轴对称性.三、课堂例题精讲例1.下列函数中，周期为的是（）A.B.C.D.答案：D例2.已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（）A.关于点对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于直线对称答案：A.解析：由题意知，所以解析式为，经验证可知它的一个对称中心为.例3.函数的最小正周期和最大值分别为（）A.，B.，C.，D.，答案：A.解析：，∴T=π，ymax=1例4.函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.答案：D.解析：因为，例5.将的图象按向量a=平移，则平移后所得图象的解析式为（）A.

4、B.C.D.答案：A.解析：看向量a=的数据“符号”，指令图象左移和下移，按“同旁相减，异旁相加”的口诀，立可否定B、C、D.例6.函数的一个单调增区间是（）A.B.C.D.答案：C解析：法一：∵函数的一个单调递增区间为，又函数是以π为周期的函数，∴函数的单调递增区间为（k∈Z）.当k=1时，函数的一个单调增区间为.故选C.法二：作出函数的图象，由图易知的一个单调增区间为.故选C.法三：将每个选择支中区间的两个端点值代入函数表达式，A、B两个选择支的端点值相等，而选择支D的左端点值大于右端点值，所以根据单调递增的概念判断，可排除A、B、D，故选C.例7.函数（为常数，）在闭区间上的图象如图所示

5、，则=.答案：=3例8.已知函数和的图象的对称轴完全相同.若，则的取值范围是.答案：解析：由题意知，，因为，所以，由三角函数图象知：的最小值为，最大值为，所以的取值范围是.例9.定义在区间上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为.答案：解析“线段P1P2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=.故线段P1P2的长为.例10.设函数，其中向量，，，且的图象经过点.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合.解析：（Ⅰ），由已知，得.（Ⅱ）由

6、（Ⅰ）得，当时，的最小值为，由，得值的集合为.例11.已知函数是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间[0，]上是单调函数，求和的值.解析：由是偶函数，得，故，对任意x都成立，且依题设0≤≤，由的图象关于点M对称，得取又，得当时，在上是减函数.当时，在上是减函数.当≥2时，在上不是单调函数.所以，综合得或.四、课后作业1.函数的一个单调增区间是（）A.B.C.D.2.已知函数=Acos（）的图象如图所示，，则=（）A.B.C.D.3.设ω>0，函数f（x）=2sinωx在上为增函数，那么ω的取值范围是.4.判断方程sinx=实数解的个数.100л5.求函数y=2sin的单调区间.6.已知函

7、数，求它的定义域和值域，并判断奇偶性.7.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值.8.设，（1）求的最大值及最小正周期；（2）若锐角满足，求tan的值.9.求下列函数的值域：（1）y=；（2）y=sinx+cosx+sinxcosx；（3）y=2cos+2cosx.10.已知函数f（x）=－sin2x+sinx+a，（1）当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围；