高中数学 第1讲 集合及其应用寒假课程学案 新人教版

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1、第一讲集合及其应用一、知识梳理1.元素与集合：把一些能够确定的不同的对象看作一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.常用数集的符号：自然数集，正整数集或，整数集，有理数集，实数集.不含任何元素的集合叫做空集，记为.注：集合中元素的三个特性：元素的确定性、元素的互异性、元素的无序性.2.集合与元素的关系：如果是集合的元素，就说属于集合，记作∈；如果不是集合的元素，就说不属于集合，记作.3.集合表示法：列举法：将元素一一列出并用花括号括起来表示集合.描述法：用集合所含元素的特征性质描述集合.表示集合是由

2、集合中具有性质的所有元素构成的.Venn图：4.集合间的基本关系：子集：如果集合中的任意一个元素都是集合中的元素，我们称集合为集合的子集，记作，读作A包含于.空集是任何一个集合的子集.真子集：如果集合，但存在元素x∈，且x，我们称集合为集合的真子集，记作.集合的相等：如果构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.集合与集合是相等的，记作＝.规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.5.集合的运算：交集：由属于集合A且属于集合的所有元素组成的集合，称为集合与的交集，记作：∩，读作：交.并集：由所有属于集合A或属于集合的元素组成的集

3、合，称为集合与的并集，记作：∪，读作：并.补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合在全集中的补集，记作：∁U，读作：在中的补集.二、方法归纳1.解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三个特征；对于用描述法给出的集合，要紧紧抓住竖线前面的代表元素以及它所具有的性质；在读懂集合的基础上尽可能化简集合，化难为易，化隐为显是常用技巧；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.2.注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如B，则有＝或≠两种可能，此时应分类讨论.3.数集的运算

4、往往用数轴法.4.用Card（）表示有限集的元素个数，则由，可得Card（）≤Card（）；由＝，可得Card（）＝Card（）；Card（）＝0.5.个元素的集合所有子集个数为，所有真子集个数为－1.三、典型例题精讲【例1】若集合，，∩＝{1，4}，则满足条件的实数x的值为（　　）A.4　　　　　　B.2或－2　　　　　C.－2　　D.2解析：根据，得，，但，由元素的互异性.∴.答案：C技巧提示：牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性.又例：若3{1，，}，求实数的范围.答案：a≠0，±1，3，±【例2】已知，，则集合中元素的个

5、数是（　　）A.0B.1　　　　　C.2D.多个错解分析：根据为直线上的点集，为单位圆上的点集，∴中元素的个数是2，选C.解析：根据，得，为数集，为单位圆上的点集，∴.答案：A技巧提示：用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件.交集是由两个集合的公共元素组成的集合.又例：设集合，，则的子集的个数是（　　）A.0　　　B.2C.4D.8解析：显然都是坐标平面内的点集，抛物线与圆有三个交点，即集合有３个元素，∴有8个子集.答案：D【例3】若为三个集合，∪＝∩，则一定有（　　）A.⊆　　　B.⊆　　C.≠　D.＝解析：∵⊆（∪），（∩）⊆，又

6、∵∪＝∩，∴⊆，故选A.答案：A技巧提示：理解集合的运算性质是解答本题的关键.⊆（∪），（∩）⊆就是交运算和并运算的重要性质.本题也可利用Venn图直接得出结论.又例：已知全集＝，则正确表示集合和＝关系的韦恩（Venn）图是（）解析：∵＝，＝，∴⊆U.答案：B.【例4】设集合A＝{x

7、x2＋ax－12＝0}，B＝{x

8、x2＋bx＋c＝0}，且A≠B，A∪B＝{－3，4}，A∩B＝{－3}，求a、b、c的值.解析：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈A且－3∈B，将－3代入方程：x2＋ax－12＝0中，得a＝－1，从而A＝{－3，4}.将－3代入方程x2＋bx＋c＝

9、0，得3b－c＝9.∵A∪B＝{－3，4}，∴A∪B＝A，∴BA.∵A≠B，∴BA，∴B＝{－3}.∴方程x2＋bx＋c＝0的判别式△＝b2－4c＝0，∴由①得c＝3b－9，代入②整理得：（b－6）2＝0，∴b＝6，c＝9.故a＝－1，b＝6，c＝9.技巧提示：由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考.【例5】设集合A、B是非空集合，定义A×B＝{x

10、x∈A∪B且xA∩B}，已知A＝{x

11、y＝}，B＝{y

12、y＝2x2}，则A×B等于（　　）A.（2，＋∞）B.[0,1]∪[2，＋∞）C.[0,1）∪（2，＋

13、∞）D.[0,1]∪（2，＋∞）解析：A＝{x

14、y＝}＝{x

15、0≤