高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 椭圆及其标准方程教案 文 新人教a版选修2-1

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1、2.2.1椭圆及其标准方程教学目标知识与技能：了解椭圆的实际背景，掌握椭圆的定义及其标准方程。过程与方法：通过椭圆的概念引入椭圆的标准方程的推导，培养学生的分析探索能力，熟练掌握解决解析问题的方法—坐标法。情感、态度与价值观：通过对椭圆的定义及标准方程的学习，渗透数形结合的思想，让学生体会运动变化、对立统一的思想，提高对各种知识的综合运用能力．教学重、难点重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．难点：椭圆的标准方程的推导．教学准备多媒体课件教学过程(一)椭圆概念的引入问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？问题3：圆的几何特征是什么

2、？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对学生提出的轨迹命题如：“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．”“到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．”取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……在此基础上，

3、引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于

4、F1F2

5、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．学生开始只强调主要几何特征——到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在演示中要从两个方面加以强调：(1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外，得到的不是椭圆，而是椭球形，使学生认识到需加限制条件：“在平面内”．(2)这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=

6、F1F2

7、，则是线段F1F2；若常数＜

8、F1F2

9、，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上限制条件：“此常数大于

10、F1

11、F2

12、”．(二)椭圆标准方程的推导1．标准方程的推导由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程．如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分：(1)建系设点；(2)点的集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤．(1)建系设点建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取方法是恰当的．以两定点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图)．

13、设

14、F1F2

15、=2c(c＞0)，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有F1(-1，0)，F2(c，0)．(2)点的集合由定义不难得出椭圆集合为：P={M

16、

17、MF1

18、+

19、MF2

20、=2a｝．(3)代数方程(4)化简方程（学生板演，教师点拨）2．两种标准方程的比较(引导学生归纳)0)、F2(c，0)，这里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，这里c2=a2+b2，只须将(1)方程的x、y互换即可得到．教师指出：在两种标准方程中，∵a2＞b2，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．(三)例题讲解例、平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距

21、离的和是10的点的轨迹的方程．分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程．解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示．取过点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=25-16=9．∴b=3因此，这个椭圆的标准方程是思考：焦点F1、F2放在y轴上呢？（四）课堂练习：课本42页练习1、2、3、4(五)课时小结1．定义：椭圆是平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于

22、F1F2

23、)的点的轨迹．3．图形（六）布置

24、作业：习题2.2A组1、7板书设计2.2.1椭圆及其标准方程1.椭圆的定义2.椭圆的标准方程例（1）焦点在x轴上（2）焦点在y轴上教学反思1.为让学生更深刻地理解椭圆的定义，在给出定义后，让学生分析：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于

25、F1F2

26、)的点的轨迹是什么？小于

27、F1F2

28、)的点的轨迹是什么？2.标准方程的推导，在老师的指导下，让学生自己推导，以提高学生的运算能力。