课导数在最优化问题中的应用

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1、第14课导数在最优化问题中的应用【课前自主探究】※考纲链接（1）会利用函数模型来表示实际问题中的变量之间的关系；（2）会利用函数导数的性质来求解实际生活中的最值问题．※教材回归◎基础重现：1．求函数f（x）的极值的步骤：①确定函数的定义区间，求； ②求方程f'（x）＝0的根．用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格． 检查f'（x）在方程根左右的值的符号，如果左右，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左右，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无

2、极值．2．解决实际应用问题：解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数． 把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再化为常规问题，选择合适的数学方法求解．根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化区间，构造相应的函数关系，是这部分的主要技巧．基础重现答案：1．①导数f′（x）；②正，负，负，正．2．◎思维升华：1．解决实际问题时，关键是什么步骤？最易出错的地方是哪里？2．体积V给定的正圆柱体，其表面积最小的

3、尺寸(半径r和高h)为多少?思维升华答案：1．关键是选择适当的变量；最易出错的地方是变量的取值范围的确定．2．．※基础自测1．有一长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是_______m2．答案：16解析：设场地的长为xm，则宽为(8－x)m，有S=x(8－x)=－x2+8x，x∈(0，8)．令S′=－2x+8=0，得x=4．∵S在(0，8)上只有一个极值点，∴它必是最值点，即Smax=16．2．把8分成两个正整数的和，其一个的立方与另一个的平方和最小，则这两个正整数分别为____________．答案：2、6

4、解析：设一个数为x，则另一个数为(8－x)．由条件可设y=x3＋(8－x)2(0＜x＜8，x∈N*＝，所以y′=3x2＋2x－16．令y′=3x2＋2x－16=0，即(x－2)(3x＋8)=0，得x=2，∴8－x=6．3．（课本题改编）．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为_____________．（强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽）答案：解析：右图为圆木的横截面，由b2+h2＝d2，∴bh211＝b(d2-b2)．设f(b)＝b(d2-b2)，∴f′(b)＝-3b2+d2．令

5、f′(b)＝0，由b＞0，∴，且在(0，］上f′(b)＞0，在［，d)上，f′(b)＜0．∴函数f(b)在处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长．4．（2009·广东文改编）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．若曲线上的点到点的距离的最小值为，则的值为　　　　．答案：解析：由题意得，，设，则．当且仅当时，取得最小值，即取得最小值，当时，，解得，当时，解得．5．已知球的直径为d，求当其内接正四棱柱体积最大时，正四棱柱的高为．答案：d解析：如图，设正四棱柱的底边长为x，高为h，由于x2＋x2＋h2=d2

6、，∴x2=(d2－h2)，∴球内接正四棱柱的体积为V=x2·h=(d2h－h3)，0＜h＜d，V′=(d2－3h2)=0，∴h=d．在(0，d)上，列表如下：h(0，d)d(d，d)V′＋0－V增函数极大值减函数11由上表知，体积最大时，球内接正四棱柱的高为d．【课堂师生共探】※经典例题○题型一导数在生产生活最优化问题中的的应用例1．某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为：p=24200－x2，且生产xt的成本为：R=50000+200x(元)．问该产品每月生产多少吨才能使利润达

7、到最大?最大利润是多少?(利润=收入－成本)分析：根据题意利润=收入－成本，列出利润关于产量的函数关系式，求导来求解最值．解：每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200－x2)x－(50000+200x)=－x3+24000x－50000(x≥0)．由f′(x)=－x2+24000=0，解得x1=200，x2=－200(舍去)．∵f(x)在［0，+∞］内只有一个点x1=200使f′(x)=0，∴它就是最大值点．f(x)的最大值为f(200)=3150000(元)．∴每月生产200t才能使利润达到最大，最大利润是315万元．点评：

8、在一定条件下，“利润最大”、“用料最省”、“面积最大”、“效率最高”、“强度最大”等问题，在生产、生活中经常用到，在数学上这类问题往往归结为求函数的最值问题．除了常见的求最值的方法外，还可用求导法求函数的最值．但无论采取何种方法都必须在函数的定义域