次函数知识要点及例题解析

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1、一次函数知识要点及例题解析[数学名言]“数与形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微”.---华罗庚[基础知识精要]在生动活泼的数学世界里，我们总会发现两个量之间存在着对应关系，函数就是对应关系的产物，学好函数知识熟练掌握数形结合的思想，对研究物理、化学等学科有着极其重要意义，今天我引大家进入丰富多彩的函数（function）迷宫！1.知识结构确定一次函数表达式一次函数的图像函数一次函数一次函数图像的应用2.有关概念2.1函数（function）定义：设在一个变化过程中,有两个变量x与y，

2、如果给定一个x值，相应就确定了一个y的值，就说y是x的函数．x是自变量，y是因变量.要理解函数的概念需要注意两点：第一，自变量x必须要在“特定意义范围内取值”,如表达式是：1.整式，x取一切实数；2.分式，x取分母不为零的数；3.二次根式，x取使被开方数为非负数的数，三次根式，则x取一切实数；4.实际问题则根据实际需要来确定.第二.函数关系是变量x与y的一种特殊对应关系（呈现方式可以是表达式、图象或表格），而且对自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应．所谓“唯一”就是有一个且只有一个．2.2一次函数

3、（linearfunction）定义：函数(，，是常数)叫一次函数.特别地当时，()叫正比例函数.2.3一次函数的图象(graph)：一次函数的图象是一条直线.一般画两点A（）,B，然后经过这两点作直线即可；性质：-6-直线，在直角坐标系中的位置由常数、的符号决定，当时，经过一、二、三象限；当时，经过一、三、四象限；当时，经过一、二、四象限；当时，经过二、三、四象限.当k>0时，随着的增大而增大；当k<0时，随着的增大而减小，增减性与无关.这里的值可以决定直线倾斜的方向，的值可以决定直线与轴相交的交点的位置.

4、2.4一次函数图象的应用：为了更好地生存，我们必须在理财、购物、贸易、车房、抗害、战争等领域进行风险分析和预测，我们通常利用物量的线性关系（即一次函数关系）进行理性地决策，通过对一次函数知识研究，能够提升分析问题和解决问题的能力.[重难点突破]一次函数的重点是概念、图象和性质．一次函数是最基本函数．学习一次函数后，对研究函数的基本方法有了初步的认识．可以推动反比例函数和二次函数甚至高中各类函数的学习．难点是学习一次函数时，要注意与一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组的联系，在学习图象时，要与几何知识相

5、联系．1.如何掌握一次函数的概念、图象和性质．[例题1]已知：是一次函数，求的值.解：由题意得：0，且，或（舍去）因此，.解后反思：一次函数中：≠0，自变量的最高次项的次数为1.易错点：忽视0这一限制条件而出错.变式：一次函数中，如何确定函数值的增减性？如果把本题改为是一次函数，且随着的增大而减小，请你求的值。-6-[例题2]已知，直线与平行，且过点（1，-2），请问直线不经过哪个象限？解：由题意得：，；又：-2=3×1＋，；即直线不经过第一象限.解后反思：直线y=+与直线y=平行，即，反之亦然；直线经过点（

6、），或点（）在直线上，则满足关系式，就是.题中直线中，.易错点：本题提到的直线有三条，要搞清是对哪条直线提出问题；另外，有的同学审题粗心易回答成经过的象限.[例题3]如图所示，已知直线交轴于点B，交轴于点A，求：（1）与的函数关系式；（2）AOB的周长和面积；解：（1）直线中，设：，点A（0，2）在直线上，；又B（3，0）在直线上，；-6-因此，.（2）从图象观察得，OA=2，OB=3，由勾股定理得，，AOB的周长为：OA+OB+AB=5+（单位长度）；AOB的面积为：S（单位平方）解后反思：确定一次函数的表

7、达式，就是求待定系数，．一般已知直线上两双不同对应值，可以得到两个方程，求出，.第二小题，是涉及函数与几何的综合题，根据勾股定理、三角形有关性质等知识，运用数形结合的思想求得.易错点：用坐标表达线段长度时，要注意加绝对值符号，如P（0，-7），则OP=

8、-7

9、=7变式：如果本题改为直线交轴于点A，交轴于点B，且AOB的面积为3，求的值.错解：直线在轴上的点A（，0），轴上的点B（0，2），S==，因此，正解：OA=，OB=

10、2

11、=2，=，.二、衣食住行离不开数学，我们如何学以致用？[例题4]衣的问题：妈妈在用

12、洗衣机洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示：根据图象解答下列问题：1.洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？2.已知洗衣机的排水速度为每分钟19升；求排水时与之间的关系式。②如果排水时间为2分钟，求排水结束时洗衣机中剩下的水量。解：观察图象得：1.洗衣机的进水时间是4分钟，清洗时洗