初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析

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1、初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析知识要点梳理知识点一：反比例函数的应用　　在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．知识点二：反比例函数在应用时的注意事项　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．　　2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．　　3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．知识点三：综合性题目的类型　　1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题

2、等.　　2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．规律方法指导　　这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．经典例题透析类型一：反比例函数与一次函数相结合　　1．（2010四川成都）如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．　　（1）试确定这两个函数的表达

3、式；　　（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　思路点拨:由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．　　解析：（1）∵已知反比例函数经过点，　　　　　　　∴，即　　　　　　　∴　　　　　　　∴A(1，2)　　　　　　　∵一次函数的图象经过点A(1，2)，　　　　　　　∴　

4、　　　　　　∴　　　　　　　∴反比例函数的表达式为，　　　　　　　一次函数的表达式为。　　　　　（2）由消去，得。　　　　　　　即,∴或。　　　　　　　∴或。　　　　　　　∴或　　　　　　　∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。　　　　　　　由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，　　　　　　　的取值范围是或。　　总结升华：（1）综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．（2）能通过观察图像得到所求信息是解决这类问题的关键。举一反三：　　【变式】如图2所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．　　（1

5、）求反比例函数和一次函数的解析式；　　（2）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．　　　　　　　　　　　　　　　【答案】（1）∵M、N在反比例函数上　　　　　　　　　　　　　　　　设一次函数解析式为　　　　　　　　则，解得　　　　　　　　故一次函数的解析式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）由图象可知，当时，反比例函数的值大于一次函数的值．类型二：反比例函数与三角形或四边形面积问题　　2．如图3，反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点。　　（1）求A、B两点的坐标；　　（2）求△AOB的面积。　　

6、　　　　　　　　　　　　　思路点拨：（1）问联立解析式求解（2）问把△AOB的面积分成与之和来解决。　　解析：（1）解方程组　　　　　　　　得　　　　　　　　所以A、B两点的坐标为A（-2，4），B（4，-2）　　　　　（2）因为与y轴交点D的坐标是（0，2），　　　　　　　　所以，　　　　　　　　　　　　　　　　所以　　总结升华：三角形面积不方便直接求解的时候可以考虑“割”或者“补”的方法，原则是割，补后的三角形易于找底和高。举一反三：　　【变式】如图4，和的图象与的图象分别交于第一象限内的两点A，C，过A，C分别向x轴作垂线，垂足分别为B

7、，D，若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为，求与有什么关系？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【答案】：设点A的坐标为（），则　　　　　　　　　　　　　　在，　　　　　　　所以　　　　　　　　　　　　　　　　　　同理可得。　　　　　　　所以。类型三：反比例函数与实际问题相结合　　3．（2010江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动。某化工厂2009年1月的利润为200万元。设2009年1月为第1个月，第x个月的利润为y万元。由于排污超标，该从2009年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利

8、润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例。到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图5）　　(1)分别求该化工厂治污期间及