定积分的应用试题

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1、定积分的应用1．平面图形的面积对曲线,,..2．曲线的弧长对于有向曲线弧,弧长元素直角坐标系:参数方程:极坐标方程:(1)对曲线,,;对曲线,,(2)对曲线,,(3)参数方程,对于空间曲线,,3．体积(1)平行截面已知的立方体体积:.(2)旋转体的体积:对曲线,,,.4．旋转体的表面积:曲线绕旋转轴旋转,旋转体表面极为:其中表示该曲线到旋转轴的距离,为弧长元素.对曲线,,绕轴旋转,;对曲线,,绕轴旋转,;5．微元法曲边梯形的面积的求法．dA=f(x)dx(矩形面积＝底高)A==整体量由局部围成，将实际问题抽象为定积分．从整体着

2、眼，从局部入手，小区间在极限过程中缩小为一点．将区间上的整体量化成区间上一点的微分，亦称为微元，然后对区间上的各点无限累加――连续作加．例１．　椭圆　x=acosty=bsintA==ab==(x-sin2x)=ab例２　旋轮线：x=a(t-sint)y=a(1-cost)(a)一拱与x轴围成的区域的面积A==3例3.极坐标A=()A==例4圆　　（0<）A==例5。双纽线．（ａ＞０）围成区域．A=＝例6．三叶玫瑰线　　　　　　　=f(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则在[a,b]上的曲线可求长，且弧长L=（1）（1）式是

3、弧长公式。证明：==L=例7.f(x)=在[0,a]上的弧长解：==例8．求曲线的全长由公式（1）曲线的全长令=dx=2tdt当x=0时t=0节当x=1时t=1则==1+参数方程（）在上连续，则例9．求半径为r的圆的周长解：*例10星形线的全长极坐标表示在上连续求心脏线的全长变力作功例11空气活塞机的活塞面积是，在等温的压缩过程中，活塞由处（气体体积）压缩到,此时气体体积，求空气压缩机在这段压缩过程中消耗的功。解：其中是比例常数。在上任意一点，气体体积，即。活塞面上的总压缩。在点活塞运动了，则在点空气压缩机消耗的功微元是：