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时间:2018-12-23
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1、定积分的应用1.平面图形的面积对曲线,,..2.曲线的弧长对于有向曲线弧,弧长元素直角坐标系:参数方程:极坐标方程:(1)对曲线,,;对曲线,,(2)对曲线,,(3)参数方程,对于空间曲线,,3.体积(1)平行截面已知的立方体体积:.(2)旋转体的体积:对曲线,,,.4.旋转体的表面积:曲线绕旋转轴旋转,旋转体表面极为:其中表示该曲线到旋转轴的距离,为弧长元素.对曲线,,绕轴旋转,;对曲线,,绕轴旋转,;5.微元法曲边梯形的面积的求法.dA=f(x)dx(矩形面积=底高)A==整体量由局部围成,将实际问题抽象为定积分.从整体着
2、眼,从局部入手,小区间在极限过程中缩小为一点.将区间上的整体量化成区间上一点的微分,亦称为微元,然后对区间上的各点无限累加――连续作加.例1. 椭圆 x=acosty=bsintA==ab==(x-sin2x)=ab例2 旋轮线:x=a(t-sint)y=a(1-cost)(a)一拱与x轴围成的区域的面积A==3例3.极坐标A=()A==例4圆 (0<)A==例5。双纽线.(a>0)围成区域.A==例6.三叶玫瑰线 =f(x)在区间[a,b]上可导,且连续,则在[a,b]上的曲线可求长,且弧长L=(1)(1)式是
3、弧长公式。证明:==L=例7.f(x)=在[0,a]上的弧长解:==例8.求曲线的全长由公式(1)曲线的全长令=dx=2tdt当x=0时t=0节当x=1时t=1则==1+参数方程()在上连续,则例9.求半径为r的圆的周长解:*例10星形线的全长极坐标表示在上连续求心脏线的全长变力作功例11空气活塞机的活塞面积是,在等温的压缩过程中,活塞由处(气体体积)压缩到,此时气体体积,求空气压缩机在这段压缩过程中消耗的功。解:其中是比例常数。在上任意一点,气体体积,即。活塞面上的总压缩。在点活塞运动了,则在点空气压缩机消耗的功微元是:
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