换元积分法和分部积分法(1)

《换元积分法和分部积分法(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、165§4-3柯西-黎曼积分中的换元积分法和分部积分法§4-3柯西-黎曼积分中的换元积分法和分部积分法在第3章中讲了求原函数的换元积分法(包括凑微分积分法)和分部积分法，而柯西-黎曼积分中也有换元积分法和分部积分法.1.换元积分法读者在第3章中已经做了很多用换元积分法求原函数的练习.那时，不仅要求代入的函数有反函数，而且最后还要换回到原来的自变量.可是，柯西-黎曼积分中的换元积分法，不需要代入的函数有反函数，也不需要再换回到原来的自变量(因为换元同时也换了积分限).柯西-黎曼积分中的换元积分法有两个，分别对应于第3章中的凑微分积分法和换元积分法.定理4-8设函数在区间上连续且有原函数

2、，而函数在区间上有连续导数且，则有(注意，换元要换限)证根据柯西-黎曼积分中的牛顿-莱布尼茨公式，右端的积分另一方面，因为即是函数在区间上的原函数，根据同样的道理，所以左端的积分因此，上面的等式成立.例5例6例7其中165165§4-3柯西-黎曼积分中的换元积分法和分部积分法，.因此，.定理4-8所指出的积分方法，实质上用的还是第3章中的凑微分积分法，因此它没有真正体现出柯西-黎曼积分中换元积分法的优越性.柯西-黎曼积分中的换元积分法，通常指的是下一个定理中说的积分方法.它不仅在有些理论证明中是重要的，而且在有些特殊积分的计算中也是重要的，因为有些特殊的积分，不是先求原函数而后用牛顿

3、—莱布尼茨公式计算出来的.定理4-9设函数在区间上连续.若有函数满足条件：存在有和，使；当从变到时，；在区间或上有连续导数；则有定积分的换元公式(注意,换元要换限)事实上，根据定理4-8，问：1.在积分中，可以令吗？为什么？2.函数在区间上没有(单值)反函数，那么下面的演算中，哪一步是对的？哪一步是错的？最后正确的结果是多少？(错误答案)[正确答案是]3.下面的演算错在何处？165165§4-3柯西-黎曼积分中的换元积分法和分部积分法所以，即.根据定理4-1，（错误！）.正确的演算应当是例8设函数在对称区间上连续.⑴若是奇函数，则；⑵若是偶函数，则.证根据积分对区间的可加性，其中于是

4、，.因此，若是奇函数，则而若是偶函数，则例9设是以为周期的连续周期函数.证明:(为任意实数)(周期函数在任何一个周期上的积分都相等)证根据积分对区间的可加性，而上面最后一个积分165165§4-3柯西-黎曼积分中的换元积分法和分部积分法因此，.例10求.解，(※)右端最后一个积分代入式(※)，并注意积分与积分变量无关，则得可见，即使不能求出原函数，也能够求出积分.习题一1.填空:⑴；⑵.答案：⑴；⑵.2.根据提示，计算下面的积分:⑴⑵⑶⑷(令)⑸⑹答案：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.165165§4-3柯西-黎曼积分中的换元积分法和分部积分法3.设函数在区间上连续.证明:⑴；⑵；⑶.提示：

5、⑴令；⑵令；⑶令.4.证明：.(提示：被积函数是周期函数)5.设连续函数满足积分方程.证明.提示：先证，然后考虑.6.设是以为周期的连续周期函数.证明:2.分部积分法定理4-10若函数和有连续导数和，则有定积分的分部积分公式证在式两端积分，则左端为而右端为移项得在很多情形下，由于，所以计算积分时用式要比先求出原函数后再用牛顿—莱布尼茨公式简单得多.165165§4-3柯西-黎曼积分中的换元积分法和分部积分法例11设为正整数.证明：(4-5)(4-6)其中记号(双阶乘)，.【注】以后做题时，可直接套用上述积分公式.证令(为正整数)则而当时，根据分部积分公式，则得化简得或(递推公式)当为

6、偶数时，当为奇数时，==最后，因为有[见换元积分法的习题3]所以也有165165§4-3柯西-黎曼积分中的换元积分法和分部积分法；例如，根据上述计算公式，则有3.瓦里斯(Wallis)公式证明：证设.对于任意正整数，由于，所以有根据式(4-5)和(4-6)，则有从而有于是有因此，（在§4-5节中将会用到这个结论）习题二1.求下列积分值：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；165165§4-3柯西-黎曼积分中的换元积分法和分部积分法⑺；⑻；⑼；⑽；⑾;⑿(为正整数).答案：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻；⑼；⑽；⑾；⑿.2.设为连续函数.证明：.3.设有连续函数满足积分方程且求.答案：.165