§. 换元积分法和分部积分法

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3、1+t

4、)0=2(2-ln3)2定理5.3.1设函数

5、f(x)在[a,b]上连续，函数x=j(t)满足：(1)j(t)在[a,b]上有连续导数j¢(t)，(2)当a£t£b时,a£j(t)£b,且j(a)=a,j(b)=23b;则有òbaf(x)dx=òf[j(t)]j‘(t23)dt.a2b例1.解设x+2ò02x+1dx.2t-1,dx=tdt,2x+1=t,x=2x:0®4;t:1®3.4ò40t2-1+23x+21322dx=òtdt=ò(t+3)dt121t2x+1221t=(+3t)=233231333例2计算解设x=asint(0£x£a),dx=acostdtpx:0®a,

6、t:0®.2a-xdx=ò22òa0a-xdx(a>0)22a-asint×acostdt0ppyy=a2-x21+cos2t2dt=a2ò2cos2tdt=aò0202p2pa22a1=(t+sin2t)=oax422020222324òap例3计算解设x=tant,dx=sec2tdtx:0®1;t:0®p410ò10(1+x2)dx-32ò(1+x2)dx=ò4(1+tan2t23)0-32p-32sec2tdt=òcostdt=sint4040pp2=2注意(1).代换x=j(t)必须单值且有连续导数;23(2).换元的同时,必

7、须换积分限;23(3).积分后不必还原,只要把新的积分限代入即可.5例4.证明若证Qf(x)为偶函数,则有òf(x)dx=2òf(x)dx-a0aaòa-af(x)dx=òf(x)dx+òf(x)dx-a2300a结论aò=òf(x)dx所以,òf(x)dx=2òf(x)dx.同理若f(x)为奇函数,则òf(x)dx=0.254例如,òxsinxdx=0.-2ò0-af(x)dxx=-t0=aaf(-t)d(-t)=-òaf(t)dt=ò0f(t23)dt00aa-a0结论a-a6ìxe,x³0,4ï例5.设函数f(x)=í1,-1

8、<0,计算ò1f(x-2)dx.ï1+cosxî-x2解设òx-2=t,dx=dt,x:1®4;t:-1®2.0224dt-t2+òtedtf(x-2)dx=òf(t)dt=ò-1-111+cost00t1-t212-t22-e=ò-òed(-t)=tan-12-122t202cos211-41=tan-e+.22232dt02075.3.2定积分的分部积分法定理设函数u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则ò证baudv=(uv)a-òvdu.babb定积分的分部积分公式Q(uv)’=u’v+uv’.(uv)a23=ò(uv)’

9、dx=òavu’dx+òauv’dx.bbbòauv’dx=(uv)a-òavu’dx,bbbòaudv=(uv)a-òavdu.a8bbb定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同23.例1.计算解10òarctanxdx=(xarctanx)-òxdarctanxxp1p-p1=ò1+xdx=4-2ln(1+x)=4-2ln2.41òarctanxdx.0102110022310例2.计算解令ò10exdx.2x=t,x=t,dx=2tdt,x:0®1,t:0®1.edx=2òtedt=2ò0td(e)=2(te)-2ò

10、etdt0xt123tò11t11000=2e-2et10=232.9例3.计算解òpòp20esinxdxp20x20p2esinxdx=23òx-ò2exdsinxsinxde=esinx0xx20pp