换元积分法与分部积分法(1)

《换元积分法与分部积分法(1)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、§2换元积分法与分部积分法教学目的与要求：熟练掌握换元积分法和分部积分法并能解决求积问题;教学重点，难点：利用换元积分法和分部积分法计算不定积分一换元积分法由复合函数求导法，可以导出换元积分法。定理8.4(换元积分法)设在上有定义，在上可导，且，并记(i)若在上存在原函数,则在上也存在原函数即（1）(ii)又若，则上述命题(i)可逆，即当在[a,b]上存在原函数时，在上也存在原函数，且=即（2）证(i)用复合函数求导法进行验证：所以以为其原函数，（1）式成立。(ii)在的条件下，存在反函数且于是又能验证（2）式成立：□上

2、述换元积分法中的公式（1）与（2）反映了正、逆两种换元方式，习惯上分别称为第一换元积分法和第二换元积分法（公式（1）与（2）分别称为第一换元公式与第二换元公式）。下面的例1至例5采用第一换元积分法求解，在使用公式（1）时，也可把它写成如下简便形式：（）例1求解由可令，则得□例2求解（令对换元积分法较熟练后，可以不写出换元变量，而直接使用公式（）。例3求解=□例4求解□例5求。解[解法一]利用例4的结果可得[解法二]□这两种解法所得结果只是形式上的不同，请读者将它们统一起来。注1第一换元积分法俗称“凑微分法”，使用第一换元

3、积分法的关键在于把被积表达式成的形式，以便选取变换，化为易于积分的，最终不要忘记把新引入的变量还原为起始变量；注2要熟练使用第一换元积分法，需要将各种微分形式熟记于心。第二换元公式（2）从形式上看是公式（1）的逆行，但目的都是为了化为容易求得原函数的形式（最终同样不要忘记变量还原）。以下例6至例9采用第二换元积分法求解。例6求解为去掉被积函数中的根式，取根次数2与3的最小公倍数6，并令，则可把原来的不定积分化为简单有理式的积分：□例7求解令（这是存在反函数的一个单调区间）。于是□例8求解令于是有借助图8-2的辅助直角三角

4、形，便于求出故得例9求解令于是有□注在使用第二换元积分法时，若变量替换为，一般用条件来保证逆变换的存在，所以通常需要指出的定义范围。有些不定积分还可采用两种换元方法来计算。例10求解[解法一]采用第一换元积分法：二分部积分法对有些形如的积分，积分换元法无效，必须寻求另外的办法来解决，下面我们介绍一种求此类积分的重要方法——分部积分法.由乘积求导法，可以导出分部积分法．定理8.5（分部积分法）　若与可导，不定积分存在，则也存在，并有．　　　　　　　　　　　　　　　（３）证　由或对上式两边求不定积分，就得到（３）式．公式（３

5、）称为分部积分公式，常简写作　　　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（４）例11　求解　令则有由公式（３）求得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　□例12　求解　令则由公式(3)求得□例13解令由公式(4)则有□注1分部积分的关键是把被积表达式写成的形式，即如何选取，且易求.注2使用分部积分法时进入微分号的顺序一般为：指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数。有时需要接连使用几次分部才能求得结果;有些还会出现与原不定积分同类的项,需经移项合并后方能完成求解,现分别示例如下.例1

6、4求解□例15求和解由此得到解此方程组,求得注分部积分法的应用大致可以归纳为“降幂”（如例11）、“升幂”（如例12，13）、“循环”（如例14，15）、“递推”（如习题6）四种形式.课后作业题：1.1）3）5）7）9）11）13）15）17）19）21）23）25）27）29）2.2)4)6)8)10)