换元积分法与分部积分法(2)

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1、§2换元积分法与分部积分法教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法．教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法．教学建议：(1)布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题．(2)总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．教学程序：一.第一类换元法——凑微法：有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分.例如，求不定积分，如果凑上一个常数因子2，使成为令则上述右端积分然后再代回原来的积分变量，就求得原不定积分更一般的，若函数是函数的一个原函数，是可微函数，并且复合运算有意

2、义，根据复合函数求导法则及不定积分的定义，有由于从而（1）23综上所述，可得如下结论【定理8.4】（第一换元积分法）设是连续函数，是的一个原函数.又若连续可微，并且复合运算有意义，则（2）第一换元积分公式（2）说明如果一个不定积分的被积表达式能够写成的形式，可通过变量代换把被积表达式等同于，若不定积分　　　　　容易求得，那么再将代入，便求出原不定积分由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式变为的形式.也就是把被积函数分解成两个因子的乘积，其中一个因子与凑成某一函数的微分，而另一因子是的函数，且经过这样的微分变形后被积表达式变为容易积分的形式，所以人们也

3、经常称第一换元积分法为“凑微分法”.凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如.凑法1　【例１】利用，求下列积分，令有23　再将代入，有　　　　　令，有再将代入，有令　　　　　再将代入，有如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换可以不写出来，只需默记在头脑中就可以了.23凑法2.特别地,有.和.【例２】利用，求下列积分　　　　＝【解】【例３】若被积函数利用，有如下公式23求下列积分　　　以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分.如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来，就可以利用基本积分

4、表来处理非常广泛的初等函数的积分.【例４】将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分　　　　　　　　　＝＝23凑法3【例５】对于与形式的积分，当是偶数时，可利用三角恒等式　　　　来降低三角函数的幂，当是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分.＝　　　　　　　　　　＝　　　　　【例６】对于形式的积分，可利用三角函数的积化和差公式　　　　　　　　　　23＝【例７】根据　　　　　　　　　　　　　　　＝【例８】＝凑法4.【例9】凑法5【例10】23凑法6.【例11】.其他凑法举例:【例12】.【例13】【例14】.【例15】.【例16】.【例17】

5、【例18】.Ex[1]P188—1891⑴—(24)；　以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变形，然后再进行变量带换.因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用.二.第二类换元法——拆微法：从积分出发，从两个方向用凑微法计算，即23===引出拆微原理.　在式（１）中，如果容易求得，并且，则式（2）右端的不定积分.利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法.第二换元积分法可以确切的叙述如下.【定理8.5】（第二换元积分法）设是连续函数，是连续可微函数，且定号，复合运算有意义.设是的一个原函数，即   

6、      则   =           （3）其中.【证明】有定理假设定号，，故函数存在反函数，又          于是=可见是式（3）左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式（3）成立.23第二换元积分法指出，求式（3）左端不定积分，作变量代换，从而，于是若上式右端的不定积分（4）容易求出，那么再代回原来的变量，便求出原不定积分由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换，从而使式（4）的不定积分容易求出.那么如何选择变换呢？这往往与被积函数的形式有关.例如，若被积函数中有根式，一般选择适当的变换来去掉根式，从而使被积函数得到简化，不

7、定积分容易求出.常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换.1.三角代换:⑴正弦代换:正弦代换简称为“弦换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:令,则【例19】计算【解】令，且从而=23=由图2.1知所以==（2）正割代换:正割代换简称为“割换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:利用三角公式令有变量还愿时,常用辅助三角形法.【例20】计算【解】令存在反函数.这里仅讨论的情况，同法可讨论的情况.由于0

8、正切代换简称为“切换”.是针对型如的根式施行的,目的是去掉根号.方