2014高考数学总复习 第1节 矩阵变换及其性质、变换的复合与二阶矩阵的乘法课时演练 新人教a版选修4-2

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1、【优化指导】2014高考数学总复习第1节矩阵变换及其性质、变换的复合与二阶矩阵的乘法课时演练新人教A版选修4-2一、选择题1.方程组用矩阵与向量的乘法形式可表示为(  )A.=B.=3.函数y=x2在矩阵M=变换作用下的结果为(  )A.y=x2     B.y=4x2C.y=  D.y=4解析:==可得代入y=x2得y′=x′2,即为所求曲线方程.答案:A4.已知M=,N=,下面二阶矩阵X,能使MX=N成立的是(  )k为非零实数,矩阵M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1,△A1B1C1的面积是△ABC的

2、面积的2倍,则k的值为(  )A.2   B.-2    C.±2   D.±3解析:由题设得MN==.由=,=,=,可知A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2).∴S△A1B1C1=

3、k

4、×2=

5、k

6、,又S△ABC=×2×1=1.由题设知

7、k

8、=2×1=2,所以k=±2.答案:C6.在变换M=作用下,三角形变为(  )A.等边三角形  B.直角三角形C.等腰直角三角形  D.钝角三角形解析:M=,所以这是一个顺时针旋转45°的旋转变换.由三角形的矩阵表示知,三个顶点分别为O(0,0)、A(1,0)、B(1,1),则在旋转变换M下,O(

9、0,0)→O(0,0),A(1,0)→A′,B(1,1)→B′(,0),所以变换后的新三角形为,新三角形为等腰直角三角形.答案:C二、填空题7.已知矩阵A=,向量β=,若向量α,使得A2α=β,则α=______.解析:设α=,由A2α=β,得=,即解得故α=.答案:8.曲线x2+y2=1,依次经过矩阵A=,B=变换作用下得到的曲线方程为________________.解析:∵BA==.取曲线x2+y2=1上任一点P(x0,y0),它在矩阵BA对应的变换作用下变为P′(x,y),则有=.∴,∵P(x0,y0)在曲线x2+y2=1上.∴y2+2=

10、1,即+y2=1.即所求曲线方程为+y2=1.答案:+y2=19.已知矩阵A=,B=.(1)计算AB=______;(2)若矩阵B把直线l:x+y+2=0变为直线l′,则直线l′的方程为__________________.三、解答题10.如果曲线x2+4xy+3y2=1在矩阵的作用下变换得到曲线x2-y2=1,求a+b的值.解:在曲线x2+4xy+3y2=1上任取一点P(x,y),设点P(x,y)在矩阵的作用下变换得到点P′(x′,y′),则=.所以=,所以代入方程x′2-y′2=1得(x+ay)2-(bx+y)2=1.化简得(1-b2)x2+

11、2(a-b)xy+(a2-1)y2=1.从而解得,所以a+b=2.11.已知在一个二阶矩阵M的变换作用下,点A(1,2)变成了点A′(4,5),点B(3,-1)变成了点B′(5,1).(1)求矩阵M;(2)若在矩阵M的变换作用下,点C(x,0)变成了点C′(4,y),求x,y.12.(金榜预测)设T是矩阵所对应的变换,已知A(1,0)且T(A)=P.(1)设b>0,当△POA的面积为,∠POA=,O为坐标原点,求a,b的值;(2)对于(1)中的a,b值,再设T把直线4x+y=0变换成x-y=0,求c的值.解:(1)∵=,∴点P坐标为(a,b).∵

12、b>0,S△POA=,∠POA=.

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