2013届高考数学 电子题库 3.4.2课时活页训练 苏教版选修1

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1、【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库第三章3.4.2课时活页训练一、填空题1．下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是________．①y＝x＋　②y＝lgx＋　③y＝＋　④y＝x2－2x＋3答案：④2．已知x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为________．解析：∵x＋3y－2＝0，∴x＋3y＝2，∴3x＋27y＋1＝3x＋33y＋1≥2＋1＝2＋1＝2＋1＝7，当且仅当x＝1，y＝时等号成立．答案：73．已知x≥，则f(x)＝的最小值为________．解析：f(x)＝＝＝≥·2＝1，当且仅当x－2＝且x≥，即x＝3时取得最小值1.答案：

2、14．y＝x＋(x≠0)的值域为________．解析：当x>0时，由基本不等式，得y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时，等号成立．当x<0时，y＝x＋＝－[(－x)＋]，∵－x>0，∴(－x)＋≥2，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立．∴y＝x＋≤－2.综上，函数y＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[2，＋∞)5．函数3x2＋的最小值是________．解析：3x2＋＝3(x2＋1)＋－3≥6－3.当且仅当3(x2＋1)＝时取“＝”．答案：6－36．(2010年高考山东卷)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是_____

3、___．解析：∵a≥＝对任意x＞0恒成立，设u＝x＋＋3，∴只需a≥恒成立即可．∵x＞0，∴u≥5(当且仅当x＝1时取等号)．由u≥5知0＜≤，∴a≥.答案：7．已知0＜x＜π，则函数y＝sinx＋的最小值为________．解析：令t＝sinx，则t∈(0,1]，函数y＝t＋，用函数的单调性定义不难证明此函数在(0,1]上是减函数．所以当t＝1时，y＝t＋有最小值3.答案：38．设a>0，b>0，且ab－a－b－1≥0，则a＋b的取值范围为________．解析：∵ab－a－b－1≥0，∴a＋b＋1≤ab≤()2.令a＋b＝t，则t＋1≤，即t2－4t－4≥0

4、，解得t≥2＋2，或t≤2－2，又t＝a＋b>0，故t≥2(＋1)．答案：[2＋2，＋∞)9．已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则三角形OAB面积的最小值为________．解析：设直线l为＋＝1(a＞0，b＞0)，则有关系＋＝1.对＋＝1应用二元均值不等式，得1＝＋≥2＝，即ab≥8.当且仅当＝即a＝4，b＝2时取“＝”．于是△OAB面积为S＝ab≥4.答案：4二、解答题10．求函数y＝的最小值．解：令t＝x2＋1，则t≥1，且x2＝t－1，∴y＝＝＝＝t＋＋1.∵t≥1，∴t＋≥2＝2.当且仅当t＝，即t＝1

5、时，取“＝”，∴当x＝0时，函数取得最小值3.11．已知a，b为正实数，且a＋b＝1，求＋的最小值．解：＋＝＋＝1＋＋＋2≥3＋2＝3＋2.当且仅当＝，即a＝－1，b＝2－时取“＝”．故＋的最小值是3＋2.12．为了保护环境，造福人类，某县环保部门拟建一座底面积为200m2的长方体二级净水处理池(如下图)，池深度一定，池的外壁建造单价为每平方米400元，中间一条隔墙建造单价为每平方米100元，池底建造单价为每平方米60元．(1)一般情况下，净水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？(2)若受地形限制，净水处理池的长、宽都不能超过14.5m，那么此时净水池的设

6、计为多少米时，可使总造价最低？解：(1)设净水池长为xm，高为hm，则宽为m，则总造价f(x)＝400(2x＋2·)·h＋100··h＋60×200＝800h(x＋)＋12000≥800h·2＋12000.当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时上述不等式取到“＝”，故当净水池的长设计为15m时总造价最低．(2)由条件可得即x∈.考察函数t＝x＋在区间上的单调性，可得出t＝x＋在区间上是单调递减函数，故当x＝14.5时，f(x)有最小值，即当净水池的长为14.5m时，总造价最低．