高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质学业分层测评 新人教b版选修1-1

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1、2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)A．5,3，　　　　　　B．10,6，C．5,3，D．10,6，【解析】　椭圆方程可化为＋＝1.∴a＝5，b＝3，c＝4，∴长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝＝.故选B.【答案】　B2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于(　　)A.B.C.D.【解析】　∵椭圆焦点在x轴上，∴0＜m＜2，a＝，c＝，e＝＝＝.故＝，∴m＝.【答案】　B3．中心在原点，焦点在x轴，若长轴长为18，且两个焦点恰

2、好将长轴三等分，则此椭圆的方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1【解析】　因为2a＝18,2c＝×2a＝6，所以a＝9，c＝3，b2＝81－9＝72.故所求方程为＋＝1.【答案】　A4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)【导学号：25650051】A.B.C.D.【解析】　由题意得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，又e>0，故所求的椭圆的离心率为.故选B.【答案】　B5．设e是椭圆＋＝

3、1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)A．(0,3)B.C．(0,3)∪D．(0,2)【解析】　当焦点在x轴上时，e2＝＝∈，解得0＜k＜3.当焦点在y轴上时，e2＝＝∈，解得k＞.综上可知选C.【答案】　C二、填空题6．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为________．【解析】　由题意得解得∴椭圆方程为＋＝1或＋＝1.【答案】　＋＝1或＋＝17．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________.【解析】　当k＋8＞9时，e2＝＝＝，k＝4；当k＋8＜9时，e2＝＝＝，k＝－.【答案】　4或－8．若椭圆的两焦点为F

4、1(－4,0)，F2(4,0)，点P在椭圆上，且△PF1F2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________．【解析】　设P点到x轴的距离为h，则S△PF1F2＝

5、F1F2

6、h，当P点在y轴上时，h最大，此时S△PF1F2最大，∵

7、F1F2

8、＝2c＝8，∴h＝3，即b＝3.【答案】　3三、解答题9．椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝，焦点到椭圆上点的最短距离为2－，求椭圆的方程．【解】　∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短，∴a－c＝2－.又e＝＝，∴a＝2，c＝，b2＝1，∴椭圆的方程为＋x2＝1.

9、10.如图214所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，M为椭圆上一点，且MF2⊥F1F2，∠MF1F2＝30°.试求椭圆的离心率．图214【解】　设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a，b，c.因为MF2⊥F1F2，所以△MF1F2为直角三角形．又∠MF1F2＝30°，所以

10、MF1

11、＝2

12、MF2

13、，

14、F1F2

15、＝

16、MF1

17、.而由椭圆定义知

18、MF1

19、＋

20、MF2

21、＝2a，因此

22、MF1

23、＝，

24、MF2

25、＝，所以2c＝×，即＝，即椭圆的离心率是.[能力提升]1．已知P是椭圆上一定点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若∠PF1F2＝60°，

26、PF2

27、＝

28、PF1

29、，则椭圆的

30、离心率为(　　)【导学号：25650052】A.B.－1C．2－D．1－【解析】　由题意可得△PF1F2是直角三角形，

31、F1F2

32、＝2c，

33、PF1

34、＝c，

35、PF2

36、＝c.点P在椭圆上，由椭圆的定义可得e＝＝＝＝＝－1.【答案】　B2．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)A．2　　　B．3C．6　　　D．8【解析】　由题意得F(－1,0)，设点P(x0，y0)，则y＝3(－2≤x0≤2)，·＝x0(x0＋1)＋y＝x＋x0＋y＝x＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2，当x0＝2时，·取得最大值为6.故选C.【答案

37、】　C3．椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4，短轴长为8，则椭圆的标准方程是________．【解析】　由题意得＝，解得c＝a.又短轴长为2b，则2b＝8，即b＝4，故b2＝a2－c2＝a2－2＝16，则a2＝25.故椭圆的标准方程为＋＝1.【答案】　＋＝14．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，

38、AF1

39、＝3

40、BF1

41、.(1)若

42、AB

43、＝4，△ABF2的周长为16，求

44、AF2

45、；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．【解】　(1)由

46、AF1

47、＝3

48、BF1

49、，

50、AB

51、

52、＝4，得

53、AF1

54、＝3，

55、BF1

56、＝1.因为△AB