高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用学业分层测评 新人教b版选修1-1

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1、2.1.2第2课时椭圆方程及性质的应用建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是(　　)A．－＜a＜　　　　B．a＜－或a＞C．－2＜a＜2D．－1＜a＜1【解析】　∵点A(a,1)在椭圆＋＝1内部，∴＋＜1.∴＜.则a2＜2，∴－＜a＜.【答案】　A2．已知直线y＝kx＋1和椭圆x2＋2y2＝1有公共点，则k的取值范围是(　　)A．k＜－或k＞B．－＜k＜C．k≤－或k≥D．－≤k≤【解析】　由得(2k2＋1)x2＋4kx＋1＝0.∵直线与椭圆有公共点．

2、∴Δ＝16k2－4(2k2＋1)≥0，则k≥或k≤－.【答案】　C3．过椭圆＋＝1的一个焦点F作垂直于长轴的弦，则此弦长为(　　)A.B．3C．2D.【解析】　因为F(±1,0)，所以过椭圆的焦点F且垂直于长轴的弦与椭圆的交点坐标为，所以弦长为3.【答案】　B4．直线y＝x＋1被椭圆＋＝1所截得线段的中点的坐标是(　　)A.B.C.D.【解析】　联立方程消去y，得3x2＋4x－2＝0.设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)．∴x1＋x2＝－，x0＝＝－，y0＝x0＋1＝，∴中点坐标为.

3、【答案】　C5．经过椭圆＋y2＝1的右焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点，O为坐标原点，则·＝(　　)【导学号：25650058】A．－3B．－C．－或－3D．±【解析】　椭圆右焦点为(1,0)，设l：y＝x－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把y＝x－1代入＋y2＝1，得3x2－4x＝0.∴A(0，－1)，B，∴·＝－.【答案】　B二、填空题6．直线l过定点A(－3,0)，则过点A的直线与椭圆＋＝1的交点个数为________．【解析】　∵A(－3,0)为椭圆长轴一个顶点，∴当过点A作椭

4、圆切线时，直线与椭圆有一个公共点(即切点)；当过点A作与椭圆相交的直线时，二者有两个交点，故填1或2.【答案】　1或27．已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若A点坐标为(3,0)，

5、

6、＝1，且P·A＝0，则

7、P

8、的最小值是________．【解析】　易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵P·A＝0，∴A⊥P.∴

9、P

10、2＝

11、A

12、2－

13、A

14、2＝

15、A

16、2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故

17、A

18、min＝2，∴

19、P

20、min＝.【答案】　8．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原

21、点，则△OAB的面积为________．【解析】　由题意知，右焦点坐标为(1,0)，直线的方程为y＝2(x－1)，将其与＋＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，所以

22、AB

23、＝·

24、x1－x2

25、＝·＝.设原点到直线的距离为d，则d＝＝.所以S△OAB＝

26、AB

27、·d＝××＝.【答案】　三、解答题9．已知椭圆＋＝1，直线l：y＝4x＋，若椭圆上存在两点P、Q关于直线l对称，求直线PQ的方程．【解】　法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则kPQ

28、＝－.设PQ所在直线方程为y＝－＋b.由消去y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0.∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0.解得b2＜，x1＋x2＝，设PQ中点为M(x0，y0)，则有x0＝＝，y0＝－·＋b＝.∵点M在直线y＝4x＋上，∴＝4·＋，∴b＝－.直线PQ的方程为y＝－x－，即2x＋8y＋13＝0.法二：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)是PQ的中点．则有两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.∵x1≠x2，x1＋x2＝

29、2x0，y1＋y2＝2y0，∴＝－＝－kPQ.∵kPQ＝－，∴y0＝3x0.代入直线y＝4x＋，得x0＝－，y0＝－，则直线PQ的方程为y＋＝－，即2x＋8y＋13＝0.10．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交A，B两点，且

30、AF2

31、，

32、AB

33、，

34、BF2

35、成等差数列．(1)求

36、AB

37、；(2)若直线l的斜率为1，求b的值.【导学号：25650059】【解】　(1)由椭圆定义知

38、AF2

39、＋

40、AB

41、＋

42、BF2

43、＝4，又2

44、AB

45、＝

46、AF2

47、＋

48、BF2

49、，所以

50、AB

51、

52、＝.(2)直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以

53、AB

54、＝

55、x1－x2

56、，即＝

57、x1－x2

58、.所以(x1＋x2)2－4x1x2＝，即－＝＝，解得b2＝或b2＝－(舍去)，又b＞0，∴b＝.[能力提升]1．已知椭圆＋