高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1 指数函数 3.1.2 指数函数(3)学案 苏教版必修1

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1、第3课时　指数函数的应用1．体会指数函数是现代科技、生活中具有广泛用途的重要数学模型．2．能利用指数函数解决一些实际应用问题以及其他问题．1．指数函数的一般形式：y＝ax(a＞0，且a≠1)．2．应用题的解题步骤：(1)审题；(2)建模；(3)求解；(4)作答．【做一做1】由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低，则现在价格为8100元的计算机经________年后降为2400元．解析：由＝2400，得x＝15.答案：15【做一做2】某种细菌在培养的过程中，每20min分裂一次(一个分裂

2、为两个)，经过3h，这样的细菌由一个分裂为__________个．答案：512有关指数函数的实际应用问题，最典型的有哪些问题？剖析：1．增长率问题：(1)增长率＝×100%；(2)平均增长率问题：如果原来产值的基数为N，平均增长率为p，则对应时间x的产值或产量y＝N(1＋p)x.2．复利问题：(1)将前一期的利息和本金加在一起作为本金，再计算下一期利息；(2)储蓄中的复利问题：如果本金为a元，每期利率为r，本利和为y，存期为x，则y＝a(1＋r)x.题型一增长率问题【例1】某人承包了一片荒山，承包期限为10年，准备栽种

3、5年可成材的树木．该树木从树苗到成材期间每年的木材增长率为18%，以后每年的木材增长率为10%，树木成材后，既可出售树木，重栽新树苗，也可让其继续生长至承包期满．问：哪一种方案可获得较大的成材木材？(参考数据：1.15≈1.61)分析：根据两种不同的方案，分别列得算式，再作商比较．解：设新树苗的木材量为Q，①若连续生长10年，木材量为N＝Q(1＋18%)5(1＋10%)5.②生长5年重栽新树苗，木材量为M＝2Q(1＋18%)5，则＝＝≈＞1.∴M＞N，即生长5年重栽新树苗可获得较大的木材量．反思：本题是有关指数函数的实

4、际应用题，通过作商比较大小是一种重要技巧．题型二指数型函数问题【例2】牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数，若牛奶放在0℃的冰箱内，保鲜时间是192小时，而放在22℃的厨房中则是42小时．(1)写出保鲜时间y(小时)关于温度x(℃)之间的函数关系式；(2)利用(1)中的结论，指出30℃和16℃时的保鲜时间．(精确到1小时)分析：所谓指数型函数，就是指形如y＝maf(x)(a＞0，a≠1)的形式，本题由此利用待定系数法求之．解：(1)根据条件设此函数为y＝kax，将(0,192)和

5、(22,42)两点代入得解之，得从而y＝192·.(2)当x＝30时，；当x＝16时，.所以当温度为30℃时保鲜时间约为20小时，当温度为16℃时，保鲜时间约为64小时．反思：有关函数的应用题，可通过待定系数法求出模型函数的表达式，再用此解答实际问题．题型三含参指数函数的讨论【例3】已知函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1,1]上有最大值14，求实数a的值．分析：函数y＝a2x＋2ax－1可通过换元法化归为二次函数，利用二次函数知识求解．解：由y＝a2x＋2ax－1，得y＝(ax)2＋2ax－1＝(

6、ax＋1)2－2，令t＝ax，则y＝(t＋1)2－2.①当a＞1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈.因为函数y＝(t＋1)2－2的对称轴为t＝－1，所以函数在上为增函数．所以当t＝a时，函数y＝(t＋1)2－2有最大值，即(a＋1)2－2＝14，解得a＝3.②当0＜a＜1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈.因为函数在上为增函数．所以当t＝时，函数y＝(t＋1)2－2有最大值，即2－2＝14，解得a＝.综上可知，实数a的值为3或.反思：本题容易出现以下错误：(1)误认为函数y＝a2x＋2ax－1在x∈[－1,1]上就是单

7、调增函数，据此得x＝1时函数有最大值14，列方程解出a.(2)令t＝ax，x∈[－1,1]，不论0＜a＜1还是a＞1，就认为t的取值范围是[a－1，a]，由此作为外层函数的定义域引出错误．1由于技术的改进，某厂从2008年起，两年来产值平均每年比上一年提高12.4%，如果按照这个增长率继续发展，估计__________年该厂年产值可比2008年翻一番．答案：20142某商品零售价2009年比2008年上涨了25%，现要使2010年比2008年只上涨10%，则2010年应比2009年降价__________%.答案：12

8、3某林区2008年木材蓄积量为200万m3，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均递增率能达到5%.(1)若经过x年后，该林区的木材蓄积量为y万m3，求y＝f(x)的表达式，并求此函数的定义域；(2)求至少经过多少年后，林区的木材蓄积量能达到300万m3?解：(1)y＝200(1＋5%)x，其中x∈N*.(2)由