高中数学 第三章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1 指数函数 3.1.2 指数函数(1)学案 苏教版必修1

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1、3．1．2　指数函数第1课时　指数函数的定义及性质1．理解指数函数的定义．2．掌握指数函数的定义域、值域和单调性．3．能根据指数函数的性质比较一些数值的大小．1．指数函数的定义函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫做指数函数，它的定义域为R．【做一做1】下列函数中是指数函数的是__________．①y＝4x　②y＝x4　③y＝－4x　④y＝(－4)x　⑤y＝πx　⑥y＝xx答案：①⑤2．指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)图象过定点(0,1)在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数[ZB)]【做一做2－

2、1】比较大小：(1)1.72.5__________1.73；(2)0.8－0.1__________0.8－0.2．答案：(1)＜　(2)＜【做一做2－2】已知指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)的图象经过点(3，π)，求f(0)，f(1)和f(－3)的值．解：由条件得π＝a3，a＝，所以f(x)＝()x．从而f(0)＝1，f(1)＝，f(－3)＝．在同一个坐标系中画出下列各函数的图象：①y＝2x；②y＝5x；③；④x．观察四个函数图象，看它们有何特点？你能从中总结出一般性结论吗？剖析：(1)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)恒过两个点(0

3、,1)和(1，a)．这四个函数都经过(0,1)，又分别经过(1,2)，(1,5)，，．再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如下图)．(2)从上图中总结出一般性结论为：①观察指数函数的图象，既不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以是非奇非偶函数．②y＝ax与的图象关于y轴对称，分析指数函数y＝ax的图象时，需找两个关键点：(1，a)和(0,1)．③指数函数的图象永远在x轴的上方．当a＞1时，图象越接近于y轴，底数a越大；当0＜a＜1时，图象越接近于y轴，底数a越小．题型一利用指数函数的单调性比较大小【例1】将三个数1.5－0.2,1.30

4、.7，按从小到大的顺序排列．分析：当两个幂指数的底数相同时，要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的指数函数，借助函数的单调性来比较大小．解：先比较1.5－0.2和的大小，考察指数函数，由于底数在区间(0,1)内，所以指数函数在(－∞，＋∞)上是减函数．由0.2＝＜，得1＞＞．另一方面，由于1.3＞1,0.7＞0，得1.30.7＞1．所以＜1.5－0．2＜1.30.7．反思：处理比较大小的问题的一般方法是：先和特殊值比，比如说和0比，和1比，然后将同范围(如大于0)的数化成同一函数在自变量x取两值时所对应的两函数值，再利用函数的单调性及自变

5、量取值的大小关系得出函数值的大小关系．题型二定义域和值域问题【例2】求下列函数的定义域与值域．(1)；　　　　　　(2)；(3)y＝4x＋2x＋1＋1；　　　(4)．解：(1)因为指数函数y＝2x的定义域为x∈R，值域为y∈(0，＋∞)；若x≠0，则y≠1．由于中的≠0，所以y≠1．所以所求函数的定义域是{x

6、x∈R且x≠3}，值域为{y

7、y＞0且y≠1}．(2)因为中的

8、x

9、≥0，所以x∈R，0＜y≤1．所以所求函数的定义域为R，值域为{y

10、0＜y≤1}．(3)将已知函数整理成y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2(2x)＋1＝(2x＋1)2．

11、由此可知定义域为R，值域为{y

12、y＞1}．(4)已知函数可化为，由≥0得x＞1；又由＞0，得＞1．所以定义域为{x

13、x＞1}，值域为{y

14、y＞1}．反思：本题求定义域均为求自然定义域的问题，即要求表达式有意义时相应的x的取值范围(集合)；求值域的问题均为复合函数的值域问题，而求复合函数值域的一般步骤是：先求出定义域，然后求出内层函数的值域，由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域即是复合函数的值域．题型三指数方程与不等式【例3】设y1＝a3x＋1，y2＝a－2x，其中a＞0，a≠1．确定x为何值时，有(1)y1＝y2；(2)y1＞y2？解：(1)

15、若y1＝y2，则3x＋1＝－2x，解得x＝－．(2)若y1＞y2，则a3x＋1＞a－2x．当a＞1时，原不等式可化为3x＋1＞－2x，x＞－，解集为；当0＜a＜1时，原不等式可化为3x＋1＜－2x，x＜－，解集为．反思：对于指数函数y＝ax来说，因当0＜a＜1和a＞1时，其函数单调性是不同的，所以当底数含有字母时，必要时可对所含字母进行分类讨论．【例4】解下列关于x的方程：(1)81×32x＝；(2)22x＋2＋3×2x－1＝0．解：(1)∵81×32x＝，∴32x＋4＝3－2(x＋2)，即2x＋4＝－2(x＋2)，解得x＝－2．(2)∵22x＋

16、2＋3×2x－1＝0，∴4×(2x)2＋3×2x－1＝0．令t＝2x，则方程可化为4t2＋3t－1＝0，解得t＝或t＝－1．则2x＝或2