初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第22章 [x]与{x}试题 新人教版

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1、第22章与22.1.1★求的值．解析因为，又，所以．故．22.1.2★若是正整数，求的值．解析因为，所以，所以．22.1.13★数的末尾有多少个连续的零?解析的质因数分解式中，5的最高次方幂为，所以的末尾有499个零．评注在中，质数的最高次幂是，其中，且．22.1.4★★设，求．解析要求，只需证明介于两个连续的整数之间．所以需要对进行适当的变形，通过放大、缩小的手段求出的范围，从而确定的取值．由题设知，．考虑到，2，3，4，…，2007，可以得到，所以．评注上述解题过程中，首先对进行了“放缩”，又通过“拆项”的方法使和式中前后两项能够相互抵消一部分，使和式化简，从而得到了

2、的范围．在对和式取整时，利用和式本身的性质进行“缩放”的方法非常重要，需要在平时的学习中多积累一些和式的性质以及变形技巧．22.1.5★★计算和式的值．解析因为（23，101）=1，所以，当时，都不是整数，即都不为零．又因为=23，而，且是整数，所以，则．从而，可以把，，…，首尾配对，共配成50对，每一对的和为22，所以．22.1.6★★已知，且满足，求的值．解析因为，所以，，…，等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以，，所以，．故，于是，所以．22.1.7★★求满足的所有实数的和．解析原方程可化为，所以，可得，于是101，102，…，125，从而，满足条件的实

3、数为，，…，，它们的和为．22.1.8★★已知，如果要求是正整数，求满足条件所有实数的和．解析显然，，2003是质数，，设，由题设，是整数，．，1，2，3，…，2002．和．22.1.9★解方程．解析原方程可改写为，将其代人，可得．解此不等式组，有，即，所以．将代入原方程，得．所以，原方程的解是．评注若一次方程中同时出现和的一次项，可以通过以下的步骤进行求解：（1）从方程中解出或，分别代入不等式组或，求解后得到或的范围，从而求得的“可能取值”（注意不一定是解!）．（2）将这些“可能值”代人原方程进行求解．（3）检验．因为在（1）中将或代人不等式组，实际上是“放大”了的范围

4、，所以必须验根！22.1.10★解方程：．解析设，则为整数，且，①由原方程知，即．②，即．所以，或．代入②，得,．22.1.11★★解方程：．解析由原方程可化为，代入不等式组，有．整理后得到．当时，因为，所以，即，所以，与矛盾．当时，因为，所以，即．又因为，所以．所以，故．代入原方程，得．22.1.12★★解方程．解析这是一个关于的二次方程，如果从方程中解出或，并代入不等式组将会使问题复杂化．可以利用的性质，通过建立不等关系缩小的取值范围，从而得到的可能取值．由原方程知，．因为，所以将和分别代入中，得到不等式组即所以或，2，6，7，8．代入原方程得，得，，，．经检验知，，

5、，，均为原方程的解．22.1.13★★已知、、满足：对于数，表示不大于的最大整数，．求、、的值．解析首先注意到，对于任意有理数，，所以．①+②+③得，即．④④－①得到，从而，；④－②得到，从而，；④－③得到，因此，．故，，．22.1.14★★解方程（其中表示不超过的最大整数）．解析若是整数，则，于是非零整数都是原方程的解．若不是整数，则，由题设得，所以．设，则，．代入上式得．当时，，这样的整数不存在．当时，，只有整数满足，此时．于是．综上所述，原方程的解为所有非零整数和－9.9．22.1.15★★证明：对于任意实数，有．解析设，其中，则有，．当时，，，所以，，于是．当时，

6、，，所以，，于是．所以，对于任意实数，恒成立．说明本题中的等式有更为一般的形式：对任意实数，有，其中为大于l的一切正整数．这个等式称为埃尔米特（Hermite）恒等式．22.1.16★★设、为正整数，，求证：．解析设为整数，且，则有，两边同时叠加，得到．所以．评注对任意实数，有（请读者自证）22.1.17★★★如果是正整数，求证：解析任意正整数，总存在正整数，满足，不妨设，其中．（1）当时，即．则．①又因为，所以．②由①、②式，得，所以．另一方面，，，即．故当时，等式成立．（2）当时，，，．则．③又，，．因为，所以．即．所以．④由③、④式，得．另一方面，，．所以．故当时，

7、等式亦成立．综上所述，原等式成立．22.1.18★★设、、是正实数，求的最小值．解析对于实数，有，所以．由于是整数，所以．当，，时，．故的最小值为4．22.1.19★★在1，2，…，2005这2005个正整数中，有多少个可以表示成的形式，其中是正实数．（这里表示不超过的最大整数．）解析令，则，于是，因为，所以，令，则可以表示数，，…，．由于，，所以，欲求的数的个数为．22.1.20★★★将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列：2，3，6，7，10，11，…．数列的前项之和记为，