初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第19章 整数的整除性（下半部分）试题 新人教版

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1、第19章整数的整除性综上可知，命题成立．评注如果两个互质的正整数之积是一个完全平方数，则这两个正整数都是完全平方数．这一命题是我们证明此题的出发点．19．4．27★★★如果正整数、、满足．证明：数和都可以表示为两个正整数的平方和．解析巧妙运用下述命题：如果正整数可表示为两个正整数的平方和，则也可表示为两个整数的平方和．事实上，设，这里、、都是正整数．则．于是，可表示为两个整数和的平方和，命题获证．注意到，由条件有．利用已证命题，可知．记，，由可知、都是正整数，并且．若、不同为偶数，则由平方数或，可知

2、或，这是一个矛盾．所以，、都是偶数，从而，这就是要证的结论．评注这里本质上只是恒等式的应用，在处理竞赛问题时，代数式变形能力显得十分重要．19．4．28是否存在正整数、使得是完全平方数？解析分如下三种情形讨论：（1）若m、都是偶数，则，，所以，故此时不是完全平方数．（2）若、都是奇数，则，，所以，故此时不是完全平方数．（3）若、是一奇一偶，不妨设是奇数，是偶数，则，，所以，故此时不是完全平方数．综上所述，对于任意正整数、，正整数都不是完全平方数．评注判断一个数不是完全平方数，我们也可以用“模”的方法

3、，例如，我们知道，偶数的平方是4的倍数，奇数的平方除以4余1，所以，若一个整数同余2或者3模4，则它一定不是完全平方数；类似地，若一个整数同余2模3，则它一定不是完全平方数；一个整数同余2、3模5，则它一定不是完全平方数等等．其实，考虑末位数也是用“模”的方法，即模10．19．4．29★★★已知是正整数，且和都是完全平方数，求证：．解析因为，所以，只需证明：，且即可．设，，其中、都是正整数．由于是奇数，所以，，从而，于是，是奇数，所以，，即，从而．又对于任意整数，有，所以，，于是，故只能是，所以，，

4、从而．因为（8，5）=1，所以，19．4．30★★★—个正整数若能表示为两个正整数的平方差，称为“智慧数”，比如，16就是一个“智慧数”，从1开始数起，第2008个“智慧数”是哪个数？解析1不是“智慧数”，大于1的奇正整数，都是“智慧数”．被4整除的偶数，有，都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数的平方差，4不是“智慧数”．被4除余2的数，设，其中、为正整数，当、奇偶性相同时，，均为偶数，被4整除，而不被4整除，所以、奇偶性相同的假设不可能成立；当、奇偶性不同时，，均为奇数，为奇数，而为偶数，故、

5、奇偶性不同的假设也不可能成立．即不存在正整数、，使，即形如的数均不是“智慧数”．综述，在正整数列中，前四个正整数中只有3为“智慧数”，之后每连续四个数中有三个“智慧数”，其中第二个数，即形如的数不是智慧数．，．因此，第2008个“智慧数”是2680．19．4．31★★★把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：，例如：，求的值．解析当时，若是奇数，则，即能表示成两个正整数的平方差；若，则，即也能表示成两个正整数的平方差；若，则，即也能表示成两个正整数的平方差；若，则不能表示成两个正整

6、数的平方差．所以，，，，…，一般地，，，，故，而，所以．19．4．32★★在二个连续的平方数之间能不能有二个完全立方数？换言之，是否存在正整数、、使得？解析假设存在正整数、、，使得．因，可得．又因为，可得，即．故，矛盾．故假设不成立，即二个连续的平方数之间不能有二个完全立方数．19．4．33★★★设为正整数，如果存在一个完全平方数，使得在十进制表示下此完全平方数的各位数字之和为，那么称为好数（例如13是一个好数，因为的各位数字之和等于13）．问：在1，2，…，2007中有多少个好数？解析首先，对分别

7、计算，可得，利用十进制下一个数与它的数码和模9同余，可知满足条件的，即或．其次，注意到，因此，若存在非负整数，使得，则为好数，又由，可知，4是好数，因此，若，则为好数．最后，由，可知若，则是好数．综上可知，为好数的充要条件是或．依此可求得1，2，…，2007中好数的个数为个．19．4．34★★★在黑板上依如下规则写下了若干个数：第一个数为1，以后的每一个数都等于已写数的个数加上这些已写数的平方和．证明：黑板上不可能出现除1以外的完全平方数．解析利用相邻两个完全平方数之间的正整数都不是完全平方数这一结

8、论．设第次所写的数为，则，，并且，．①利用递推式①，可知，，②由①-②，可知，，即，．注意到，，故时，不是完全平方数，又不是完全平方数，故命题成立．评注用递推式表示题中的条件后，问题得以数学化，从而获得解决．用恰当的方式将问题表示，这一过程是一个数学化的过程，是处理实际问题时必要的第一步．19.4.35★★★如果对的一切整数值，的二次三项式都是平方数（即整数的平方）．证明：（1）、、都是整数；（2）、、都是整数，并且是平方数．反过来，如果（2）成立，是否对一切的整数值