2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第20章 同余试题 新人教版

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1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第20章同余试题新人教版20.1.1★(1)证明：任意平方数除以4，余数为0或1；(2)证明：任意平方数除以8，余数为0、1或4．解析(1)因为奇数，偶数，所以，正整数(2)奇数可以表示为，从而奇数．因为两个连续整数、中必有一个是偶数，所以是8的倍数，从而奇数．又，偶数(为整数)．若偶数，则．若奇数，则．所以，平方数评注事实上，我们也可以这样来证：因为对任意整数，有，±1，2()，所以，，1()；又0，±1，±2，±3，4()，所以，0，1，．20.1.2★求证：一个十进制数被9除所得

2、的余数，等于它的各位数字被9除所得的余数．解析设这个十进制数．因101()，故对任何整数≥1，有．因此．即被9除所得的余数等于它的各位数字之和被9除所得的余数．评注(1)特别地，一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除．(2)算术中的“弃九验算法”就是依据本题的结论．20.1.3★★求证：(1)；(2)；(3)．解析(1)因，所以，，于是．(2)因为，，所以，即．(3)因为，，所以，于是．20.1.4★★对任意的正整数，证明：能被1897整除．解析，7与271互质．因为，，，，所以，故7

3、又因为，，，所以，故271

4、因(7，

5、271)=1，所以1897整除．20.1.5★证明：能被7整除．解析因为，，所以．因为，，，所以．于是，即．20.1.6★★求最大的正整数，使得能被整除．解析因为，①而对于整数≥1，有，所以，①式右边的11个括号中，(3+1)是4的倍数，其他的10个都是2的倍数，但不是4的倍数．故的最大值为12．20.1.7★求使为7的倍数的所有正整数．解析因为，所以对按模3进行分类讨论．(1)若，则；(2)若，则;(3)若，则．所以，当且仅当3

6、时，为7的倍数．20.1.8★设是正整数，求证：7不整除．解析因为，，．所以当时，；当时，；当时，．所以，对

7、一切正整数，7不整除．20.1.9★今天是星期日，过天是星期几?解析，所以．因此，过天是星期四．20.1.10★★求被50除所得的余数．解析，．又，所以．．即．从而．．由于．，所以．于是．故除以50所得的余数为29．20.1.11★(1)求33除的余数；(2)求8除的余数．解析(1)先找与同余的数．因为，所以．．故所求的余数为25．(2)因为，所以，．即余数为6．20.1.12★求除以4所得的余数．解析因为，，所以．20.1.13★形如，0，1，2，…的数称为费马数．证明：当≥2时，的末位数字是7．解析当≥2时，是4的倍数，故令．于是．即

8、的末位数字是7．评注费马数的头几个是，，，，，它们都是素数．费马便猜测：对所有的正整数，都是素数．然而，这一猜测是错误的．首先推翻这个猜测的是欧拉，他证明了下一个费马数是合数．有兴趣的读者可以自己去证明．20.1.14★★已知，求被9除后所得商的个位数字是多少?解析因为．所以．又的个位数字是5，故被9除后所得商的个位数字是5．20.1.15★★求的末两位数．解析因为，，，．所以的末两位数字只可能是00、25、50、75，即的末两位数字只可能是01、26、5l、76．又是4的倍数，故的末两位数字只可能是76．又，所以的末两位数字只可能是38

9、、88，而4

10、88，438，故的末两位数字是88．20.1.16★★求所有的正整数，使得是一个立方数．解析假设存在正整数、，使得，则，于是．设，则，易知不能被3整除，故不存在正整数，使得是一个立方数．20.1.17★★有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是多少?解析该数列是：3，7，10，17，27，44，71，115，186，301，487，788，…除以3的余数分别是：0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，…余数刚好是按“

11、0，1，1，2，0，2，2，1”八个一循环．又19975(8)，因此所求余数为0．20.1.18★★★求的末位数字和的末两位数字，其中是大于1的正整数．解析我们知道，求一个数的末位数字就是求这个数除以10的余数，求一个数的末两位数字就是求这个数除以100的余数．为此，先设法求出中的，然后求出(，是整数)中的．这样，问题归结为求被10除所得的余数．因为，，是正整数．而．所以，．可设．于是．所以，的末位数字是3．考虑的末两位数字．这时，由，，，得．而，其中是整数且≥0．于是．可设，那么．所以，所求的末两位数字是43．20.1.19★★求1×3

12、×5×…×1997×xx的末三位数字．解析这个积显然是5×25=125的倍数，设5×25×1×3×7×…×23×27×…×xx=．由于1000=8×125，所以，我们只需求出除以8所得的余数，