2019-2020年初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第21章 不定方程试题 新人教版

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1、2019-2020年初中数学竞赛专题复习第三篇初等数论第21章不定方程试题新人教版21.1.1★求不定方程的正整数解．解析因为，，，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中可以取一切正整数．21.1.2★求的整数解．解析1将方程变形得．因为是整数，所以应是11的倍数．由观察得，是这个方程的一组整数解，所以方程的解为为整数．解析2先考察，通过观察易得，所以，可取，．从而为整数．评注如果、是互质的整数，是整数，且方程①有一组整数解、．则此方程的一切整数解可以表示为其中，±1，±2，±3，…．21.1.3

2、★求方程的非负整数解．解析因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得．①由观察知，，是方程②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为所以方程①的一切整数解为因为要求的原方程的非负整数解，所以必有由于是整数，由③、④得15≤≤16，所以只有15，16两种可能．当15时，15，；当16时，4，3．所以原方程的非负整数解是21.1.4★求方程的所有正整数解．解析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求解．用方程①的最小系数7除方程①的各

3、项，并移项得．②因为、是整数，故也是整数，于是有．再用5除此式的两边得．③令(整数)，由此得．④由观察知，是方程④的一组解．将代入③得．代入②得=25．于是方程①有一组解，，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得只能取0，1．因此得原方程的正整数解为21.1.5★求方程的整数解．解析因为，，．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37=9×(107-2×37)-8×37=9×107-

4、26×37=37×(-26)+107×9,由此可知，是方程的一组整数解．于是,是方程的一组整数解．所以原方程的一切整数解为是整数．21.1.6★求方程的整数解．解析设，即，于是．原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为是整数．②的解为是整数．消去，得是整数．21.1.7★求方程的整数解．解析设，则对于①，，是一组特解，从而①的整数解为是整数．又，是方程②的一组特解，于是②的整数解为是整数．所以，原方程的整数解为、是整数．21.1.8★求方程组的正整数解．解析消去，得．①．易知，是它的一组特解，从而①的整数

5、解为是整数．代入原方程组，得所有整数解为是整数．由，，得，所以0，1，故原方程组的正整数解为21.1.9★求方程的正整数解的组数．解析因为，所以，是一组特解．于是方程的整数解为是整数．由得.所以1，2，…，87．故原不定方程有87组正整数解．21.1.10★★某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法?解析设需枚7分，枚5分恰好支付142分，于是．①所以．由于≤142，所以≤20，并且由上式知．因为(5，2)=1，所以，从而1，6，11，16．①的非负整数解为所以，共有4

6、种不同的支付方式．评注当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．21.1.11★★今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只，用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?解析设公鸡、母鸡、小鸡各买、、只，由题意列方程组①化简得.③③-②得即解得于是的一个特解为所以的所有整数解为是整数．由题意知，，，，所以，解得故.由于是整数，故只能取26，27，28，而且、、还应满足．所以264187827811

7、812812484即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．21.1.12★★小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分．小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次．小明套lO次共得61分，问：小鸡至少被套中几次?解析设套中小鸡次，套中小猴次，套中小狗次，则根据题意得我们要求这个方程组的正整数解．消去：从①中减去②×2得，于是．③由③可以看出．从而的值只能是1，2，3，4，5．将

8、③写成，由于是整数，所以必须是3的倍数．从而只有2、5两个值满足这一要求．但时，，不是正整数．在时，，是本题的解．因此小鸡被套中5次．评注本题问“小鸡至少被套中几次?”实际上却只有一个解，“至少”两字可以省去．21.1.13★★今有浓度为5％、8％、9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克、60克、47克，现要配制成浓度为7％的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?解析设甲、乙、丙盐水分别各取克、克、克，配成浓度