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1、初中数学第20章同余竞赛专题复习第20章同余20.1.1*(1)证明：任意平方数除以4,余数为0或1；(2)证明：任意平方数除以8,余数为0、1或4.解析(1)因为奇数，偶数，所以，正整数(2)奇数可以表示为，从而奇数.因为两个连续整数、中必有一个是偶数，所以是8的倍数，从而奇数.又，偶数(为整数).若偶数，贝IJ.若奇数，则所以，平方数评注事实上，我们也可以这样来证：因为对任意整数，有，±1,2(),所以，，1()；又0,土1,±2,±3,4(),所以,0,1,・20.1.2★求证：一个十进制数被9除所得的余数，等于它的各位数字被9除所得的余数.解析设这个十进制数.因10
2、1（）,故对任何整数土1,有因此即被9除所得的余数等于它的各位数字之和被9除所得的余数.评注（1）特别地，一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除.（2）算术中的“弃九验算法”就是依据本题的结论.20.1.3★★求证：（1）；⑵；⑶.解析（1）因，所以于是.（2）因为…所以，即(3)因为…所以于是20.1.4^★对任意的正整数，证明：能被1897整除.解析，7与271互质.因为所以，故7又因为所以,故271
3、因⑺271)=1,所以1897整除.20.1.5*证明：能被7整除.解析因为，，所以.因为，八所以于是即.20.1.6*★求最大的正整数，使得能被整除.解
4、析因为，①而对于整数21,有9所以，①式右边的11个括号中，(3+1)是4的倍数，其他的10个都是2的倍数，但不是4的倍数.故的最大值为12.20.1.7★求使为7的倍数的所有正整数.解析因为，所以对按模3进行分类讨论.(1)若，则(2)若，则(3)若，则所以，当且仅当3
5、时，为7的倍数.20.1.8★设是正整数，求证：7不整除.解析因为，…所以当时，当时,■当时,所以，对一切正整数，7不整除.20.1.9*今天是星期日，过天是星期几?解析，所以因此，过天是星期四.20.1.10★★求被50除所得的余数.解析，.又，所以即.从而.由于・，所以.于是故除以50所得的余数为29
6、.20.1.11^(1)求33除的余数；(2)求8除的余数.解析(1)先找与同余的数.因为9所以.故所求的余数为25.(2)因为，所以即余数为6.20.1.12*求除以4所得的余数.解析因为，，所以20.1.13★形如，0,1,2,…的数称为费马数•证明：当三2时，的末位数字是7.解析当22时，是4的倍数，故令.于是即的末位数字是7.评注费马数的头几个是，，，，，它们都是素数.费马便猜测：对所有的正整数，都是素数.然而，这一猜测是错误的.首先推翻这个猜测的是欧拉，他证明了下一个费马数是合数.有兴趣的读者可以自己去证明.20.1.14★★已知，求被9除后所得商的个位数字是多少
7、？解析因为所以.又的个位数字是5,故被9除后所得商的个位数字是5.20.1.15^★求的末两位数.解析因为所以的末两位数字只可能是00、25、50、75,即的末两位数字只可能是01、26、51、76.又是4的倍数，故的末两位数字只可能是76.又，所以的末两位数字只可能是38、88,而4188,438,故的末两位数字是88.20.1.16★★求所有的正整数，使得是一个立方数.解析假设存在正整数、，使得，贝IJ,于是.设，贝I」，易知不能被3整除，故不存在正整数，使得是一个立方数.20.1.★有一列数排成一行，其中第一个数是3,第二个数是7,从第三个数开始，每个数恰好是前两个数
8、的和，那么，第1997个数被3除，余数是多少？解析该数列是：3,7,10,17,27,44,71,115,186,301,487,788,…除以3的余数分别是：0,1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,…余数刚好是按"0,1,1,2,0,2,2,1”八个一循环.又19975(8),因此所求余数为0.20.1.18^★★求的末位数字和的末两位数字，其中是大于1的正整数.解析我们知道，求一个数的末位数字就是求这个数除以10的余数，求一个数的末两位数字就是求这个数除以100的余数.为此，先设法求出中的，然后求出(，是整数)中的.这样，问题归结为求被10除所得
9、的余数.因为9,是正整数.而.所以，.可设.于是.所以，的末位数字是3.考虑的末两位数字.这时，由，，，得而，其中是整数且20.于是.可设，那么所以，所求的末两位数字是43.20.1.19★★求1X3X5X・・・X1997X1999的末三位数字.解析这个积显然是5X25=125的倍数，设5X25X1X3X7X---X23X27X・・・X1999二.由于1000=8X125,所以，我们只需求出除以8所得的余数,进而便可求得除以1000的余数.(1X3X7)X(9X11X13X15)X(17X19X21X23)X(27
