竞赛专题--同余

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1、第5讲同余【知识点】1.设m是一个给定的正整数,如果两个整数a与b用m除所得的余数相同,则称a与b对模同余,记作,否则,就说a与b对模m不同余,记作,显然,;每一个整数a恰与1,2,……,m,这m个数中的某一个同余;2.同余的性质:1).反身性:;2).对称性:;3).若,则;4).若,,则特别是;5).若,,则;特别是;6).;7).若;8).若,………………,且【例1】证明:完全平方数模4同余于0或1;证明:所以原命题成立;【例2】证明对于任何整数,能被7整除;都能被7整除;注:【例3】试判断能被3整除吗?

2、【例4】能否把1,2,……,1980这1980个数分成四组,令每组数之和为,且满足【例5】在已知数列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43中,相邻若干数之和,能被11整除的数组共有多少组。【例6】设是整系数多项式,证明:若【例7】试求出一切可使被3整除的自然数;【例8】在每张卡片上各写出11111到99999的五位数,然后把这些卡片按任意顺序排成一列,证明所得到的444445位数不可能是2的幂;【例9】设是任意一个具有性质的正整数的无穷数列,求证可以把这个数列的无穷多个用适当的正整数【练习】1、证

3、明:完全平方数模3同余于0或1;证明:完全平方数模5同余于0、1或4;证明:完全平方数模8同余于0、1或4;证明:完全立方数模9同余于-1、0或1;证明:整数的四次幂模16同余于0或1;2、设

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