小学奥数竞赛专题之同余问题.doc

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1、窗体顶端　　小学奥数竞赛专题之同余问题　　[专题介绍]：同余问题　　生活中我会经常遇到与余数有关的问题，比如：某年级有将近400名学生。有一次演出节目排队时出现：如果每8人站成一列则多余1人；如果改为每9人站成一列则仍多余1人；结果发现现成每10人结成一列，结果还是多余1人；聪名的你知道该年级共有学生多少名吗？　　假设有一名学生不参加演出，则结果一定是不管每列站8人或9人或10人都将刚好站齐。因此此时学生人数应是8、9、10公倍数，而8、9、10的最小公倍数是360，因此可知该年级共有361人。　　研究与余数有关的问题，能帮助我们解决很多

2、较为复杂的问题。　　[分析]　　1、两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm）　　2、同余的重要性质及举例。　　〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）　　〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）　　〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）　　〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）　　〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）　　〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）　　其

3、中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性"　　注意：一般地同余没有"可除性"，但是：　　如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）　　3、整数分类：　　〈1〉用2来将整数分类，分为两类：　　1，3，5，7，9，……（奇数）　　0，2，4，6，8，……（偶数）　　〈2〉用3来将整数分类，分为三类：　　0，3，6，9，12，……（被3除余数是0）　　1，4，7，10，13，……（被3除余数是1）　　2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

4、　　〈3〉在模6的情况下，可将整数分成六类，分别是：　　0（mod6）：0，6，12，18，24，……　　1（mod6）：1，7，13，19，25，……　　2（mod6）：2，8，14，20，26，……　　3（mod6）：3，9，15，21，27，……　　4（mod6）：4，10，16，22，29，……　　5（mod6）：5，11，17，23，29，……　　[经典例题]　　例1：求437×309×1993被7除的余数。　　思路分析：如果将437×309×1993算出以后，再除以7，从而引得到，即437×309×1993=，此数被7除的余数

5、为1。但是能否寻找更为简变的办法呢？　　473≡3（mod7）　　309≡1（mod7）　　由"同余的可乘性"知：　　437×309≡3×1（mod7）≡3（mod7）　　又因为1993≡5（mod7）　　所以：437×309×1993≡3×5（mod7）　　≡15（mod7）≡1（mod7）　　即：437×309×1993被7除余1。　　例2：70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，……，问这一行数最右边的一个数被6除的余数是几？　　思路分析：如果

6、将这70个数一一列出，得到第70个数后，再用它去除以6得余数，总是可以的，但计算量太大。　　即然这70个数中：中间的一个数的3倍是它两边的数的和，那么它们被6除以后的余数是否有类似的规律呢？　　0，1，3，8，21，55，144，……被6除的余数依次是　　0，1，3，2，3，1，0，……　　结果余数有类似的规律，继续观察，可以得到：　　0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，3，……　　可以看出余数前12个数一段，将重复出现。　　70÷2=5……10，第六段的第十个数为4，这便是原来数中第70个数被6除的余数。　　

7、思路分析：我们被直接用除法算式，结果如何。　　例4、分别求满足下列条件的最小自然数：　　（1）用3除余1，用5除余1，用7除余1。　　（2）用3除余2，用5除余1，用7除余1。　　（3）用3除余1，用5除余2，用7除余2。　　（4）用3除余2，用7除余4，用11除余1。　　思路分析：　　（1）该数减去1以后，是3，5和7的最小公倍数105，所以该数的是105+1=106　　（2）该数减去1以后是5和7的公倍数。因此我们可以以5和7的公倍数中去寻找答案。下面列举一些同时被5除余1，被7除余1的数，即　　1，36，71，106，141，176

8、，211，246，……从以上数中寻找最小的被3除余2的数。　　36≡0（mod3），71≡2（mod3），符合条件的最小的数是71。　　（3）我们首先列举出被5除余2，被7除余2的数，2，37