小学奥数同余问题

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1、同余问题（一）   在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。1.同余的表达式和特殊符号   37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。   记作：（mod7）         “”读作同余。   一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2.

2、同余的性质   （1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。）   （2）若，那么（这称作同余的对称性）   （3）若，，则（这称为同余的传递性）   （4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）   （称为同余的可乘性）   （5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：   如果   那么（的差一定能被k整除）   这是为什么呢？         k也就是的公约数，所以有      下面我们应用同余的这些性质解题。【例题分析】例1.用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？   分析与解答

3、：   假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。      所以a最大是31。例2.除以19，余数是几？   分析与解答：   如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。      所以   此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。例3.有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？   分析与解答：   这个数除以13，商是有规律的。      商是1709

4、40六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。   余数是几呢？         则   所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。【模拟试题】（答题时间：20分钟）1.求下列算式中的余数。   （1）              （2）   （3）                   （4）2.6254与37的积除以7，余数是几？3.如果某数除482，992，1094都余74，这个数是几？同余问题（二）【例题分析】例1.除以7，余数是几？   分析

5、与解答：         例2.一个自然数除以3余2，除以5余3，除以7余1，这个自然数最小是几？分析：假设这个自然数为a那么      这道题考虑的困难是它们的余数不相同。如果把这道题改一下，使它们的余数相同，利用整除的知识，便容易考虑了，先看下面一道题：一个自然数除以3余2，除以5余2，除以7余2，那么，这个自然数若减去2，便同时是3，5，7的倍数，这样的自然数有：105，210，315，……分别被3，5，7除余2的数是2，107，212，317，……最小的自然数是2。回过头来看刚才的题，能不能把它也变为余数相同的数呢？稍加变式，可以写成：这样

6、同时是3，5，7倍数的数有105，210，315，……那么同时被3，5，7余8的数有：8，113，218，323，……其中最小的自然数为8。例3.在求51173526被7除的余数时，小明这样做：      所以余数是5   刘老师说，小明的算法不仅正确，而且巧妙迅速，你知道其中的道理吗？   分析与解答：   看了下面的算式，你就会明白的。      小明用的这种方法，有比较广泛的应用，常称之为“拼凑法”在解关于用几除的余数的问题时，常常“拼凑”出显然是几的倍数的部分，对于这部分，简直可以“置之不理”，这样可以使解答过程简化。例4.除以3的余数是几

7、？为什么？   分析与解答：   在上式的加项中，显然可以被3整除，因此只须计算被3除余数是几。   由于      因此      由此可知，只须计算被3除的余数，它又等于被3除的余数。由于，所以      所以余数是1【模拟试题】1.今天是星期日，再过天又是星期几？2.求除以3所得的余数。3.某数除680，970和1521，余数相同，这个数最大是几？4.有一列数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是7，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么，第1997个数被3除，余数是几？5.若将一批货物共千克装入纸箱，每箱装10千克，最后余多少千克？

8、若每箱装17千克，最后还余多少千克？6、1309被一个质数相除，余数是21，求这个质数。　　7、1796被一个质数相除，余