初等数论函数[x]和{x}.ppt

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1、§5、函数[x]和{x}定义1：设x是实数，用[x]表示不超过[x]的最大整数，称它为x的整数部分。又称{x}=x-[x]为x的小数部分。例[2.4]=2，{-2.4}=0.6,[-2.4]=-3性质：1、由定义有恒等式x=[x]+{x}2、[x]≤x<[x]+1,由定义不超过和最大即得3、[x]+[y]≤[x+y],{x}+{y}≥{x+y}，例[2.5]+[2.6]≤[5.1]4、[x+m]=[x]+m,m为整数，5、[-x]=6、a,b为整数，b>0,则有证：注意与带余除法的比较。7、a,b是

2、正整数，则不大于a而为b的倍数的正整数恰有个。证：能被b整除的正整数为b,2b,3b,…设这些整数的个数恰好为k个，则,即，所以例:1到1000的这1000个数是6的倍数的有多少个.有个.8、对正整数m,有证：由带余除法[x]=mq+r,,所以又,所以即有n!的标准分解定理：设p(n!)表示p在n!的标准分解中的指数，则有p(n!)=先来看一个例子例:15!中2的个数为11个.证：若p>n,则p†n!,即p(n!)=0,成立。若,则由性质知在1，2，…n中，p的倍数有个，为p,2p,…p,其积为同理

3、若，则1，2，3,…,中，p的倍数是p,2p,…p,其积为再在1,2,3,…中作同样讨论，依次类推有p(n!)=推论1：n为正整数，则有推论2：n为正整数，1kn-1,则有证：对任意p,n!,k!,(n-k)!的标准分解中p的指数分别为由性质即有k!(n-k)!

4、n!,从而证明了结论。推论3：n为正整数，设f(x)是一个n次的整系数多项式,是它的k阶导数，则是一个n-k次整系数多项式。证：显然是n-k次整系数多项式，设,则中的系数为为整数，所以结论成立。例1：求2005!末尾零的个数。解：因为10=

5、2×5，而2比5多，所以只要考虑2005！中5的幂指数，即5（2005！）=例2：证明（n!）(n-1)!

6、(n!)!证：对任意素数p,设（n!）(n-1)!中素数p的指数为,（n!）!中p的指数β，有,,从而证明了结论.注：要证明a

7、b，只要证明对任意素数p，a中p的幂指数不超过b中p的幂指数即可，用p(a)表示a中p的幂指数，则a

8、b的充要条件是p(a)≤p(b)例3:设c不能被素数平方整除，若a2

9、b2c，则a

10、b证：由已知p(c)≤1，且p(a2)≤p(b2c)∴2p(a)≤2p(b)+p(

11、c)∴p(a)≤p(b)+p(c)即p(a)≤p(b)∴a

12、b例4：设p为素数，则有p

13、,其中k为小于等于p-1的整数证：由性质知有由已知(p,k!)=1,(p,(p-k)!)=1,所以有(p,k!(p-k)!)=1,又有上式得即p

14、,从而证明了结论。