2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测（五十一）双曲线 理（普通高中）

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1、课时跟踪检测（五十一）双曲线(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．(2017·全国卷Ⅱ)若a＞1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)A．(，＋∞)　　　　　　　　B．(，2)C．(1，)D．(1,2)解析：选C　由题意得双曲线的离心率e＝.即e2＝＝1＋.∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.2．若双曲线－＝1的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±2xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：选B　在双曲线中离心率e＝＝＝，可得＝，故双曲线的渐近线方程是y＝±x.3．双曲线

2、－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　　)A．2B.C.D.解析：选C　由渐近线互相垂直可知·＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝a，所以e＝.4．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)A．离心率相等B．虚半轴长相等C．实半轴长相等D．焦距相等解析：选D　由0

3、.B.C.D.解析：选D　由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝

4、PF

5、·

6、AP

7、＝×3×1＝.6．(2017·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析：选D　由△OAF是边长为2的等边三角形可知

8、，c＝2，＝tan60°＝.又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.7．设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．解析：不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，则－＝1，故＝5，即e＝＝.答案：8．过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则

9、AB

10、＝________.解析：双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴

11、垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－＝0，将x＝2代入x2－＝0，得y2＝12，y＝±2，故

12、AB

13、＝4.答案：49.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若

14、AB

15、＝4，

16、BC

17、＝3，则此双曲线的标准方程为________________．解析：设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，∴解得∴双曲线的标准方程为x2－＝1.答案：x2－＝110．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点

18、B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示．∵四边形OABC为正方形，

19、OA

20、＝2，∴c＝

21、OB

22、＝2，∠AOB＝.∵直线OA是渐近线，方程为y＝x，∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案：2B级——中档题目练通抓牢1．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解

23、析：选B　法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝1，∵双曲线C与椭圆＋＝1有公共焦点，∴4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为－＝1.法二：根据双曲线C的渐近线方程为y＝x，可知＝.①又椭圆＋＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a2＋b2＝9.②根据①②可知a2＝4，b2＝5，所以C的方程为－＝1.2．(2018·郑州质量检测)已知P(x，y)(其中x≠0)为双曲线－x2＝1上任一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则△PAB的面积为(　　)

24、A.B.C.D．与点P的位置有关解析：选C　双曲线－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x，因为PA，PB分别垂直于双曲线的两条渐近线，故设方程y＝2x的倾斜角为α，则tanα＝2，所以tan∠APB＝tan2α＝＝－，sin∠APB＝，

25、PA

26、·

27、PB

28、＝·＝＝，因此△PAB的面积S＝

29、PA

30、·

31、PB

32、sin∠APB＝××＝，故选C.3．过双曲线x