2019届高考数学一轮复习 课时跟踪检测（五十一）双曲线 理（重点高中）

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1、课时跟踪检测（五十一）双曲线(二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.D.解析：选D　由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴，又PF⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝

2、PF

3、·

4、AP

5、＝×3×1＝.2．(2017·天津高考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A

6、在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析：选D　由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan60°＝.又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，∴双曲线的方程为x2－＝1.3．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且

7、AF1

8、＝3

9、AF2

10、，则双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：选B　因为∠F1AF2＝90°，故

11、AF1

12、2＋

13、AF2

14、2＝

15、F1F2

16、2＝4c2，又

17、AF1

18、＝3

19、AF2

20、，

21、且

22、AF1

23、－

24、AF2

25、＝2a，所以

26、AF1

27、＝3a，

28、AF2

29、＝a，则10a2＝4c2，即＝，故e＝＝(负值舍去)．4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，若

30、MF1

31、－

32、MF2

33、＝2b，该双曲线的离心率为e，则e2＝(　　)A．2B.C.D.解析：选D　由题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，联立得即点M(a，b)，则

34、MF1

35、－

36、MF2

37、＝－＝2b，即－＝2，－＝2，化简得，e4－e2－1＝0，解得e2＝.5．(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)设F为双曲线－＝1(a>0

38、，b>0)的右焦点，若线段OF的垂直平分线与双曲线的渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为

39、OF

40、，则双曲线的离心率为(　　)A．2B.C．2D．3解析：选B　双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，线段OF的垂直平分线为直线x＝，将x＝代入y＝x，则y＝，则交点坐标为，到直线y＝－x(即bx＋ay＝0)的距离d＝＝

41、OF

42、＝，得c＝2b＝2，即4a2＝3c2，则双曲线的离心率e＝＝，故选B.6．若点P是以A(－3,0)，B(3,0)为焦点，实轴长为2的双曲线与圆x2＋y2＝9的一个交点，则

43、PA

44、＋

45、PB

46、＝________.解析：不妨设点P在双曲线

47、的右支上，则

48、PA

49、＞

50、PB

51、.因为点P是双曲线与圆的交点，所以由双曲线的定义知，

52、PA

53、－

54、PB

55、＝2，①又

56、PA

57、2＋

58、PB

59、2＝36，②联立①②化简得2

60、PA

61、·

62、PB

63、＝16，所以(

64、PA

65、＋

66、PB

67、)2＝

68、PA

69、2＋

70、PB

71、2＋2

72、PA

73、·

74、PB

75、＝52，所以

76、PA

77、＋

78、PB

79、＝2.答案：27．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且

80、PF1

81、＝4

82、PF2

83、，则双曲线的离心率e的最大值为________．解析：由双曲线定义知

84、PF1

85、－

86、PF2

87、＝2a，又已知

88、PF1

89、＝4

90、PF2

91、，所以

92、PF1

93、＝a，

94、PF2

95、＝

96、a.在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－e2，要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，∵cos∠F1PF2≥－1，∴cos∠F1PF2＝－e2≥－1，解得e≤，即e的最大值为.答案：8．已知l是双曲线C：－＝1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2分别是C的左、右焦点，若·＝0，则点P到x轴的距离为________．解析：由题意知F1(－，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为y＝x，点P(x0，x0)，由·＝(－－x0，－x0)·(－x0，－x0)＝3x－6＝0，得x0＝±，故点P到x轴的距离为

97、x0

98、＝2.答案：29．已知双曲线的中心在原点，焦

99、点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，点M(3，m)在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)∵e＝，∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为－＝1.(2)证明：不妨设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．∴·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，∵M点在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴·＝0.(3)△F1M