高三数学总复习 两条异面直线所成的角 教案

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1、"湖南师范大学附属中学高三数学总复习教案：两条异面直线所成的角"教学目标1．记忆并理解余弦定理；2．应用余弦定理来求异面直线所成的角．教学重点和难点这节课的重点是以异面直线所成的角的概念为指导作出相应的角，然后用余弦定理解这个角所在的三角形求出这个角的余弦．这节课的难点是使学生初步理解当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，当cosθ=0时，θ=90°，当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°．教学设计过程一、余弦定理师：余弦定理有哪两种表述的形式？它们各有什么用途？生：余弦定理有两种表述的形式，即：a2=b2＋c2-2bccosA

2、b2=c2+a2-2cacosBc2=a2＋b2-2abcosC第一种形式是已知两边夹角用来求第三边，第二种形式是已知三边用来求角．师：在立体几何中我们主要用余弦定理的第二种形式，即已知三角形的三边来求角．在余弦定理的第二个形式中，我们知道b2＋c2可以等于a2；也可以小于a2；也可以大于a2．那么，我们想当b2+c2=a2时，∠A等于多少度？为什么？生：当b2＋c2=a2时，由勾股定理的逆定理可知∠A=90°．师：当b2＋c2＞a2时，∠A应该是什么样的角呢？生：因为cosA＞0，所以∠A应该是锐角．师：当b2＋c2＜a2时

3、，∠A应该是什么样的角呢？生：因为这时cosA＜0，所以∠A应该是钝角．师：对，关于这个问题，我们只要求同学们有初步的理解即可．初步理解后应该记住、会用．现在明确提出当cosθ=0时，θ=90°，θ是直角；当cosθ＞0时，0°＜θ＜90°，θ是锐角当cosθ＜0时，90°＜θ＜180°，θ是钝角．下面请同学们回答下列问题：生：θ等于60°，等于120°．师：这时θ和是什么关系？生：θ和是互为补角．师：再回答下列问题：生：θ1等于45°，1等于135°，θ1+1=180°；θ2等于30°，2=150°，θ2+2=180°．师：

4、一般说来，当cosθ=-cos时，角θ与角是什么关系？生：角θ与角是互补的两个角．即一个为锐角，一个为钝角，且θ＋=180°．（关于钝角的三角函数还没有定义，所以这里采用从特殊到一般的方法使学生有所理解即可）二、余弦定理的应用例1 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．求异面直线A1B和AD1所成的角的余弦．（如图1）师：首先我们要以概念为指导作出这个角，A1B和AD1所成的角是哪一个角？生：因为CD1∥A1B，所以∠AD1C即为A1B与AD1所成的角．师：∠AD1C在△AD1C中，求出△AD1C的

5、三边，然后再用余弦定理求出∠AD1C的余弦．师：我们要再一次明确求异面直线所成的角的三个步骤：第一是以概念为指导作出所成的角；第二是找出这个角所在的三角形；第三是解这个三角形．现在我们再来看例2．例2 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，∠C1BC=45°，∠B1AB=60°．求AB1与BC1所成角的余弦．（如图2）师：在这例中，我们除了首先要以概念为指导作出异面直线所成的角以外，还要注意把所给的特殊角的条件转化为长方体各棱之间的关系，以便于我们用余弦定理．生：因为BC1∥AD1，所以AB1与BC1所成的角即为∠D1AB1．

6、根师：现在我们来看例3．例3 已知正方体的棱长为a，M为AB的中点，N为B1B的中点．求A1M与C1N所成的角的余弦．（如图3）（1992年高考题）师：我们要求A1M与C1N所成的角，关键还是以概念为指导作出这个角，当一次平移不行时，可用两次平移的方法．在直观图中，根据条件我们如何把A1M用两次平移的方法作出与C1N所成的角？生：取A1B1的中点E，连BE，由平面几何可知BE∥A1M1，再取EB1的中点F，连FN由平面几何可知FN∥BE，所以NF∥A1M．所以∠C1NF即为A1M与C1N所成的角．师：还可以用什么方法作出A1M

7、与C1N所成的角？生：当BE∥A1M后，可取C1C中点G，连BG，则BG∥C1N，师：这两种解法都要用两次平移来作出异面直线所成的角，现在我们来看例4．例4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．（如图4）师：根据异面直线所成的角的概念，再根据长方体的基本性质，如何作出AC1与BD所成的角。生：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，定理，得师：想一想第二个解法生：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即一可知：

8、师：想一想第三个解法．当然还是根据异面直线所成的角概念首先作出这个角．有时可根据题目的要求在长方体外作平行直线．生：延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．（如图5）连EC1，在由余弦定理，得所以∠EAC1为钝角