高三数学一轮复习 45数列求和学案 理

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1、45数列求和一、学习内容：必修四68～72二、课标要求：能在具体的问题情景中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题（数列求和）．三、基础知识：数列求和的常见方法有：1、公式法：⑴等差数列的求和公式，等比数列的求和公式2、分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和（常见：等差+等比型或多个特殊数列混合在一起）即：将原来的数列分拆成两个或两个以上的数列，然后利用公式法求和。3、倒序相加法：如果一个数列｛a｝，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个

2、常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2通常，当数列的通项与组合数相关联时，那么常可考虑选用倒序相加法，（等差数列求和公式）将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．4、错位相减法：适用于：“等差等比”型的数列求和．特征：适应于数列的前n向求和，其中成等差数列，成等比数列。方法：给各边同乘以一个适当的数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.5、裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，即数列的每一项均可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n项之

3、和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法。把一个数列分成几个可直接求和的数列．常见的拆项公式：(1)；(2)四、基础练习1．已知数列{an}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，Sn是其前n项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．(1)求公比q的值；(2)求Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．【答案】　(1)－1　(2)－4n【解析】　(1)由题意得2a5＝4a1－2a3.∵{an}是等比数列且a1＝4，公比q≠1，∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0，解得q2＝－2(舍去)或q2＝1，∴q＝－1.(2)∵a2，a4，a6，…，a2n是

4、首项为a2＝4×(－1)＝－4，公比为q2＝1的等比数列，∴Tn＝na2＝－4n.【点评】应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式．2．求数列1，，2，，4，，……的前2n项和S2n.【答案】　2n－【解析】　S2n＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)＋(＋＋＋…＋)＝2n－1＋1－＝2n－.【点评】将数列中的每一项拆成几项，然后重新分组，将一般数列求和问题转化为特殊数列的求和问题，我们将这种方法称为通项分解法，运用这种方法的关键是通项变形．3.已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.(1)求

5、Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.【解析】　(1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1(n≥2)，∴S＝(Sn－Sn－1)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①由题意Sn－1·Sn≠0，①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，∴数列{}是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.(2)又bn＝＝＝，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.【点评】裂项相消法求和就是将数列中的每一项拆成两项或多项，使这些拆开的项出现有规律的相互抵消，看有几项没有抵消掉，从而达到求和的目的．4.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1

6、＝2Sn(n∈N＋)．(1)求数列{an}的通项an；(2)求数列{nan}的前n项和Tn.【解析】　(1)∵an＋1＝2Sn，∴Sn＋1－Sn＝2Sn，∴＝3.又∵S1＝a1＝1，∴数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列，Sn＝3n－1(n∈N＋)．当n≥2时，an＝2Sn－1＝2·3n－2，∴an＝(2)Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan，当n＝1时，T1＝1；当n≥2时，Tn＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n·3n－2，①3Tn＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n·3n－1，②①－②得：－2Tn＝2＋2(31＋32＋…＋3n－2)－2n·3n－1＝2＋2·－2

7、n·3n－1＝－1＋(1－2n)·3n－1.∴Tn＝＋3n－1(n≥2)．又∵T1也满足上式，故Tn＝＋3n－1(n∈N＋)．【点评】①如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法．②运用错位相减法求和，一般和式比较复杂，运算量较大，易会不易对，应特别细心，解题时若含参数，要注意分类讨论．【练习】5．(2011·浙江文)已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)，且，，成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)对n∈N*，试比较＋＋＋…＋与的大小．【解析】　(1