（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数i 2.8 函数与方程 文

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1、【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程文1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使函数y＝f(x)的值为0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2

2、．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.

3、(　×　)(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(　×　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．(　√　)(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　√　)1．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．答案　1解析　∵f(－1)＝－3<0，f(0)＝1>0，∴f(x)在(－1,0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．2．若x1，x2是方程2x＝()的两个实根，则x1＋x2＝________.答案　－1解析　∵2x＝()，

4、∴2x＝2，∴x＝－1即x2＋x－1＝0，∴x1＋x2＝－1.3．函数f(x)＝2x

5、log0.5x

6、－1的零点个数为________．答案　2解析　由f(x)＝0得

7、log0.5x

8、＝x，作出函数y＝

9、log0.5x

10、和y＝x的图象，由图象知两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点．4．(2015·天津)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为________．答案　2解析　当x>2时，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2；当0≤x≤2时，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x；当x<0时，g(x)＝3－x2，f(x)＝2＋x.由于函数

11、y＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)－g(x)＝0的根的个数．x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝或x＝(舍去)；当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解；当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝或x＝(舍去)．所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．答案　解析　∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)<0，∴(－3a＋1)·(1－a)<0，解得

12、的取值范围是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型一　函数零点的确定命题点1　函数零点所在的区间例1　(2015·长沙四月调研)已知函数f(x)＝lnx－x－2的零点为x0，则x0所在的区间是(k，k＋1)(k∈Z)，则k＝________.答案　2解析　∵f(x)＝lnx－x－2在(0，＋∞)是增函数，又f(1)＝ln1－－1＝ln1－2<0，f(2)＝ln2－0<0，f(3)＝ln3－1>0，∴x0∈(2,3)．命题点2　函数零点个数的判断例2　(1)函数f(x)＝的零点个数是________．(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x

13、)＝x，则函数y＝f(x)－log3

14、x

15、的零点个数是________．答案　(1)2　(2)4解析　(1)当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又因为f(2)＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.