高等数学课后习题及参考答案(第八章)

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1、高等数学课后习题及参考答案（第八章）习题8-11.判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界.(1){(x,y)

2、x¹0,y¹0};解开集,无界集,导集为R2,边界为{(x,y)

3、x=0或y=0}.(2){(x,y)

4、1

5、1£x2+y2£4},边界为{(x,y)

6、x2+y2=1或x2+y2=4}.(3){(x,y)

7、y>x2};解开集,区域,无界集,导集为{(x,y)

8、y³x2},

9、边界为{(x,y)

10、y=x2}.(4){(x,y)

11、x2+(y-1)2³1}Ç{(x,y)

12、x2+(y-2)2£4}.解闭集,有界集,导集与集合本身相同,边界为{(x,y)

13、x2+(y-1)2=1}È{(x,y)

14、x2+(y-2)2=4}.2.已知函数,试求f(tx,ty).解.3.试证函数F(x,y)=lnx×lny满足关系式:F(xy,uv)=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).证明F(xy,uv)=ln((x,y)×ln(uv)=(lnx+lny)(lnu+lnv)=lnx×lnu+l

15、nx×lnv+lny×lnu+lny×lnv=F(x,u)+F(x,v)+F(y,u)+F(y,v).4.已知函数f(u,v,w)=uw+wu+v,试求f(x+y,x-y,xy).解f(x+y,x-y,xy)=(x+y)xy+(xy)(x+y)+(x-y)=(x+y)xy+(xy)2x.5.求下列各函数的定义域:(1)z=ln(y2-2x+1);解要使函数有意义,必须y2-2x+1>0,故函数的定义域为D={(x,y)

16、y2-2x+1>0}.(2);解要使函数有意义,必须x+y>0,x-y>0,故函数的定义域为

17、D={(x,y)

18、x+y>0,x-y>0}.(3);解要使函数有意义,必须y³0,即,于是有x³0且x2³y,故函数定义域为D={(x,y)

19、x³0,y³0,x2³y}.(4);解要使函数有意义,必须y-x>0,x³0,1-x2-y2>0,故函数的定义域为D={(x,y)

20、y-x>0,x³0,x2+y2<1}.(5)(R>r>0);解要使函数有意义,必须R2-x2-y2-z2³0且x2+y2+z2-r2>0,故函数的定义域为D={(x,y,z)

21、r2

22、+y2¹0,且即z2£x2+y2,故函数定义域为D={(x,y,z)

23、z2£x2+y2,x2+y2¹0}.6.求下列各极限:(1);解.(2);解.(3);解.(4);解.(5);解.(6).解(用等价无穷小代换).7.证明下列极限不存在:(1);证明如果动点p(x,y)沿y=0趋向(0,0),则;如果动点p(x,y)沿x=0趋向(0,0),则.因此,极限不存在.(2).证明如果动点p(x,y)沿y=x趋于(0,0),则;如果动点p(x,y)沿y=2x趋向(0,0),则.因此,极限不存在.8.函数在何处间断？解

24、因为当y2-2x=0时,函数无意义,所以在y2-2x=0处,函数间断.9.证明.证明因为,所以.因此.方法二:证明因为,故.对于任意给定的e>0,取d=2e,当时恒有,所以.10.设F(x,y)=f(x),f(x)在x0处连续,证明:对任意y0ÎR,F(x,y)在(x0,y0)处连续.证明由题设知,f(x)在x0处连续,故对于任意给定的e>0,取d>0,当

25、x-x0

26、

27、f(x)-f(x0)

28、

29、x-x0

30、

31、

32、F(x,y)-F(x0,y0)

33、=

34、f(x)-f(x0)

35、

36、所以4.设,求.解因为,所以.5.曲线在点(2,4,5)处的切线与正向x轴所成的倾角是多少？解因为,,故.6.求下列函数的,,.(1)z=x4+y4-4x2y2;解,;,;.(2);解,;,;.(3)z=yx.解,;,;.7.设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求fxx(0,0,1),fxz(1,0,2),fyz(0,-1,0)及fzzx(2,0,1).解因为fx=y2+2xz