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1、高等数学课后习题及参考答案（第九章）习题9-11.设有一平面薄板(不计其厚度),占有xOy面上的闭区域D,薄板上分布有密度为m=m(x,y)的电荷,且m(x,y)在D上连续,试用二重积分表达该板上全部电荷Q.解板上的全部电荷应等于电荷的面密度m(x,y)在该板所占闭区域D上的二重积分.2.设,其中D1={(x,y)
2、-1£x£1,-2£y£2};又,其中D2={(x,y)
3、0£x£1,0£y£2}.试利用二重积分的几何意义说明I1与I2的关系.解I1表示由曲面z=(x2+y2)3与平面x=±1,y=±2以及z=0围成的立体V的体积.I2表示由
4、曲面z=(x2+y2)3与平面x=0,x=1,y=0,y=2以及z=0围成的立体V1的体积.显然立体V关于yOz面、xOz面对称,因此V1是V位于第一卦限中的部分,故V=4V1,即I1=4I2.3.利用二重积分的定义证明:(1)(其中s为D的面积);证明由二重积分的定义可知,其中Dsi表示第i个小闭区域的面积.此处f(x,y)=1,因而f(x,h)=1,所以,.(2)(其中k为常数);证明.(3),其中D=D1ÈD2,D1、D2为两个无公共内点的闭区域.证明将D1和D2分别任意分为n1和n2个小闭区域和,n1+n2=n,作和.令各和的直径中最
5、大值分别为l1和l2,又l=max(l1l2),则有,即.4.根据二重积分的性质,比较下列积分大小:(1)与,其中积分区域D是由x轴,y轴与直线x+y=1所围成;解区域D为:D={(x,y)
6、0£x,0£y,x+y£1},因此当(x,y)ÎD时,有(x+y)3£(x+y)2,从而£.(2)与,其中积分区域D是由圆周(x-2)2+(y-1)2=2所围成;解区域D如图所示,由于D位于直线x+y=1的上方,所以当(x,y)ÎD时,x+y³1,从而(x+y)3³(x+y)2,因而.(3)与,其中D是三角形闭区域,三角顶点分别为(1,0),(1,1),
7、(2,0);解区域D如图所示,显然当(x,y)ÎD时,1£x+y£2,从而0£ln(x+y)£1,故有[ln(x+y)]2£ln(x+y),因而.(4)与,其中D={(x,y)
8、3£x£5.0£y£1}.解区域D如图所示,显然D位于直线x+y=e的上方,故当(x,y)ÎD时,x+y³e,从而ln(x+y)³1,因而[ln(x+y)]2³ln(x+y),故.5.利用二重积分的性质估计下列积分的值:(1),其中D={(x,y)
9、0£x£1,0£y£1};解因为在区域D上0£x£1,0£y£1,所以0£xy£1,0£x+y£2,进一步可得0£xy(
10、x+y)£2,于是,即.(2),其中D={(x,y)
11、0£x£p,0£y£p};解因为0£sin2x£1,0£sin2y£1,所以0£sin2xsin2y£1.于是,即.(3),其中D={(x,y)
12、0£x£1,0£y£2};解因为在区域D上,0£x£1,0£y£2,所以1£x+y+1£4,于是,即.(4),其中D={(x,y)
13、x2+y2£4}.解在D上,因为0£x2+y2£4,所以9£x2+4y2+9£4(x2+y2)+9£25.于是,,即.习题9-21.计算下列二重积分:(1),其中D={(x,y)
14、
15、x
16、£1,
17、y
18、£1};解积分区域
19、可表示为D:-1£x£1,-1£y£1.于是.(2),其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域:解积分区域可表示为D:0£x£2,0£y£2-x.于是.(3),其中D={(x,y)
20、0£x£1,0£y£1};解.(4),其中D是顶点分别为(0,0),(p,0),和(p,p)的三角形闭区域.解积分区域可表示为D:0£x£p,0£y£x.于是,..2.画出积分区域,并计算下列二重积分:(1),其中D是由两条抛物线,所围成的闭区域;解积分区域图如,并且D={(x,y)
21、0£x£1,}.于是.(2),其中D是由圆周x2+y2=4及y轴所围成的
22、右半闭区域;解积分区域图如,并且D={(x,y)
23、-2£y£2,}.于是.(3),其中D={(x,y)
24、
25、x
26、+
27、y
28、£1};解积分区域图如,并且D={(x,y)
29、-1£x£0,-x-1£y£x+1}È{(x,y)
30、0£x£1,x-1£y£-x+1}.于是=e-e-1.(4),其中D是由直线y=2,y=x及y=2x轴所围成的闭区域.解积分区域图如,并且D={(x,y)
31、0£y£2,}.于是.3.如果二重积分的被积函数f(x,y)是两个函数f1(x)及f2(y)的乘积,即f(x,y)=f1(x)×f2(y),积分区域D={(x,y)
32、a£x£b
33、,c£y£d},证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即证明,而,故.由于的值是一常数,因而可提到积分号的外面,于是得4.化二重积分为二次积分(分别列出对两个变量先
